北京市2013届高三上学期期末考试 数学理试题

北京市2012-2013学年度高三年级第一学期期末统一考试

数学测试题（理工类） 2013.1

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项.

1. 已知i是虚数单位，若复数(1?ai)(2?i)是纯虚数，则实数a等于 A．2 B．【答案】A

1 2 C．?1 D．?2 2(1?ai)(2?i)?2?a?(1?2a)i，【解析】要使复数为纯虚数，所以有2?a?0,1?2a?0，

解得a?2，选A.

2.“k?1”是“直线x?y?k?0与圆x2?y2?1 相交”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A

22【解析】要使直线x?y?k?0与圆x?y?1 相交，则有圆心到直线的距离d?k2?1。

即k?2，所以?2?k?2，所以“k?1”是“直线x?y?k?0与圆

x2?y2?1 相交”的充分不必要条件，选A.

3.执行如图所示的程序框图．若输入x?3，则输出k的值是

A． 3 B．4 C． 5 D． 6 【答案】C

【解析】第一次循环x?3?5?8,k?1；第二次循环x?8?5?13,k?2；第三次循环

x?13?5?18,k?3；第四次循环x?18?5?23,k?4；第五次循环x?23?5?28,k?5，此时满足条件输出k?5，选C.

4.已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(?5,0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点

坐标为(0,2)，则此双曲线的方程是

x2?y2?1 A．4y2x2y2x2y2?1 C．??1 D．??1 B．x?423322【答案】B

【解析】由双曲线的焦点可知c?5，线段PF1的中点坐标为(0,2)，所以设右焦点为F2，

则有P2F?，且PF2?4，点xP

在双曲线右支上。所以

PF1?(25)2?42?36?6，所以PF1?PF2?6?4?2?2a，所以

y2?1，选B. a?1,b?c?a?4，所以双曲线的方程为x?422225.某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有

A． 140种 B． 120种 C． 35种 D． 34种[ 【答案】D

1322【解析】若选1男3女有C4C3?4种；若选2男2女有C4C3?18种；若选3男1女有

31C4C3?12种；所以共有4?18?12?34种不同的选法。选D.

6.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面

积为

A．333 B． C． D．1

442【答案】C

【解析】由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视

图的高为3133?3?。选C. ，高为3，所以侧视图的面积为?2224227.设集合A=xx?2x?3?0，集合B=xx?2ax?1?0,a?0.若A?B中恰含有

????一个整数，则实数a的取值范围是 A．?0,? B．?,【答案】B

2【解析】A=xx?2x?3?0?{xx?1或x??3}，因为函数y?f(x)?x2?2ax?1的

??3?4??34?? 43?? C．?,??? D．?1,???

?3?4????对称轴为x?a?0，f(0)??1?0，根据对称性可知要使A?B中恰含有一个整数，

?a???4?4a?1?0?则这个整数解为2，所以有f(2)?0且f(3)?0，即?，所以??9?6a?1?0?a???即

34。4334?a?，选B. 43AB，BD1（不包括8. 在棱长为1的正方体ABCD?A1，P2分别是线段1BC11D1中，点P端点）上的动点，且线段P1P2平行于平面A12AB1的体积的最大值是 1ADD1，则四面体PP A．

1111 B． C． D． 241262【答案】A

【解析】过P?底面于O,连结OP2?P1AB1的22做PO1, 则OP1?AB，即OP1为三棱锥P，0?x?1，则由题意知OP高，设AP1?x1//AD,所以有

三

角

形

OPBP1?1，即OP1?1?x。ADABS?AP1B1?1x2，所以

四面体

PP21A的B体积为

11111x?1?x21S?AP1B1?OP??x(1?x)?x(1?x)?()?，当且仅当x?1?x，13326622411AB的体积的最大值为，选A. 即x?时，取等号，所以四面体PP121224