北京大学高等代数和解析几何真题1983 - 1984年汇总

北京大学数学考研题目

1983年 基础数学、应用数学、计算数学、概率统计专业

一、（20分）证明：在直角坐标系中，顶点在原点的二次锥面Ax?By?Cz?2Dyz?2Ezx?2Fxy?0有三条互相垂直的直母线的充要条件是A?B?C?0.二、（20分）用导出组的基础解系表出线性方程组的一般解。?x1?x2?...?xn?1,??x2?x3?...?xn?1?2,??......?x?n?1?xn?2?...?x2n?n?1222

三、（20分）设a1,a2,...,an是相异整数。证明：多项式(x?a1)(x?a2)...(x?an)?1在有理数域上不可约。四、（20分）用V表示数域P上全部4阶矩阵所成的线性空间，A是V中的一个矩阵，已知?－1??0??0??0?????????0120??，??，??及???1??2??3??1?????????0???0??0??1?分别是A的属于特征值0， 1， 1，－1的特征向量。（1）求A;(2)求V中与A可交换的矩阵全体所成的子空间的维数及一组基。

五、（20分）设A,B是两个n级正定矩阵。证明：AB是正定矩阵的充要条件是A与B可交换。第 1 页 dragonflier编辑

1984年 数学各专业

一、（10分）求直线l:x?13?3y?26?z?13 与平面?:x?2y?3z?10?0的交点。 二、（10分）设向量a,b,c不共面。试证：向量a?b,b?c,c?a不共面。三、（15分）设K和K为平面上同心的单位（半径＝1）开圆域和闭圆域。（1）取定适当的坐标系，写出K和K的解析表示式；（2）试在K和K的点之间建立一个一一对应关系。

四、（25分）设V是实数域R上的三维向量空间，??1，?2，?3?是V的一组基。（1）设在线性变换T：V?V下，T?1??1,T?2??1??2,T?3??1??2??3.试求T在??1，?2，?3?中的变换公式；（2）求T的逆变换T（3）求T?1?1

在??1，?2，?3?中的公式；在?T?1,T?1,T?3?中的公式。2五、（20分）(1)证明：实矩阵A是正定的充要条件为：可找到一个可逆的实对称矩阵B,使A?B.?20?(2)给定A??2??4??217?24??2?7,求实对称矩阵B，使A?B.?20??六、（20分）(1)设A为n?m矩阵，B为m?n矩阵。求证：En?AB?Em?BA(En为n阶单位矩阵，Em为m阶单位矩阵).

(2)证明：如果A,B为同阶方阵，则AB与BA总有相同的特征值（不考虑重数）.第 2 页 dragonflier编辑