2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5：课时跟踪检测（一） 正弦定理

课时跟踪检测（一） 正弦定理

层级一 学业水平达标

1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( ) 5A. 33C. 7

解析：选A 根据正弦定理得

3 B. 55 D. 7

sin Aa5

＝＝. sin Bb3

2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形 解析：选B 由题意有

B．直角三角形 D．等腰三角形

ab＝b＝，则sin B＝1， sin Asin B

即角B为直角，故△ABC是直角三角形．

sin Acos C

3．在△ABC中，若a＝c，则C的值为( ) A．30° C．60°

B．45° D．90°

sin Asin Ccos C

解析：选B 由正弦定理得，a＝c＝c， 则cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.

ππ

4．△ABC中，A＝，B＝，b＝2，则a等于( )

64A．1 C.3

解析：选A 由正弦定理得a

B．2 D．23

2

＝， ππsin sin

64

∴a＝1，故选A.

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝3bsin A，则sin B＝( ) A.3 C.6

3

B.3 3

6 3

D．－

解析：选B 由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，所以sin A＝3sin Bsin A，故sin

B＝

3. 3

6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是______(填序号)． ①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解； ②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解； ③a＝15，b＝2，A＝90°，无解； ④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．

解析：①中a＝bsin A，有一解；②中csin Bb，有

一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．

答案：④

7．在△ABC中，若(sin A＋sin B)(sin A－sin B)＝sin2C，则△ABC的形状是________． ab

解析：由已知得sin2A－sin2B＝sin2C，根据正弦定理知sin A＝，sin B＝，sin C

2R2Rc

＝， 2R

a?2?b?2?c?2

所以??2R?－?2R?＝?2R?，

即a2－b2＝c2，故b2＋c2＝a2.所以△ABC是直角三角形． 答案：直角三角形

8．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则解析：由正弦定理及已知得答案：2

9．已知一个三角形的两个内角分别是45°，60°，它们所夹边的长是1，求最小边长． 解：设△ABC中，A＝45°，B＝60°， 则C＝180°－(A＋B)＝75°. 因为C>B>A，所以最小边为a. 又因为c＝1，由正弦定理得， a＝

csin A1×sin 45°

＝＝3－1， sin Csin 75°

AC

＝________. cos A

ACAC1＝，∴＝2. sin Asin 2Acos A

所以最小边长为3－1.

10．在△ABC中，已知a＝22，A＝30°，B＝45°，解三角形． 解：∵

abc

＝＝， sin Asin Bsin C

asin B22sin 45°∴b＝＝＝sin Asin 30°22×12

22＝4. ∴C＝180°－(A＋B)＝180°－(30°＋45°)＝105°， ∴c＝

asin C22sin 105°22sin 75°

＝＝ sin Asin 30°1

2

＝42sin(30°＋45°)＝2＋23.

层级二 应试能力达标

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果c＝3a，B＝30°，那么角C等于( )

A．120° C．90°

B．105° D．75°

解析：选A ∵c＝3a，∴sin C＝3sin A＝3sin(180°－30°－C)＝3sin(30°＋C)＝3

?3sin C＋1cos C?，即sin C＝－3cos C，∴tan C＝－3.又0°

2?2?

∴C＝120°.故选A.

2．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4(2＋1)，且sin B＋sin C＝2sin A，则a＝( )

A.2 C．4

B．2 D．22

解析：选C 根据正弦定理，sin B＋sin C＝2sin A可化为b＋c＝2a， ∵△ABC的周长为4(2＋1)，

?a＋b＋c＝4?2＋1?，

∴?解得a＝4.故选C. ?b＋c＝2a，

a＋b＋c

3．在△ABC中，A＝60°，a＝13，则等于( )

sin A＋sin B＋sin C83A.

3263C.

3

239 B. 3D．23

a＋b＋ca

＝2R＝

sin Asin A＋sin B＋sin C

解析：选B 由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C得13239

＝＝. sin 60°3

4．在△ABC中，若A

C＝( )

A．1∶2∶3 C．3∶4∶5

B．2∶3∶4 D．4∶5∶6

π

解析：选A 由A

所以A＝，从而C＝，则三个角A∶B∶C＝1∶2∶3，故选A.

62

5．在△ABC中，A＝60°，B＝45°，a＋b＝12，则a＝________. abab解析：因为＝，所以＝，

sin Asin Bsin 60°sin 45°所以

32

b＝a，① 22

又因为a＋b＝12，② 由①②可知a＝12(3－6)． 答案：12(3－6)

6．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则sin B＝_______. ABBC解析：由正弦定理，得＝，即

sin Csin AAB·sin A

sin C＝BC ＝

5sin 120°53

＝. 714

11

. 14

可知C为锐角，∴cos C＝1－sin2C＝

∴sin B＝sin(180°－120°－C)＝sin(60°－C) ＝sin 60°·cos C－cos 60°·sin C＝答案：

33

14

33

. 14

ac

7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且＝. sin A3cos C(1)求角C的大小；

CB＝4，求△ABC的面积． (2)如果CA·

?sin A＝sin C，

解：(1)由?ac

＝

?sin A3cos C，ac

得sin C＝3cos C，

π

故tan C＝3，又C∈(0，π)，所以 C＝. 3

1

CB＝|CA||CB|cos C＝2ba＝4得ab＝8， (2)由CA·

113

所以S△ABC＝absin C＝×8×＝23.

222

8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos C＋3bsin C－a－c＝0.

(1)求B；

(2)若b＝3，求a＋c的取值范围．

解：(1)由正弦定理知：sin Bcos C＋3sin Bsin C－sin A－sin C＝0， ∵sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C代入上式得： 3sin Bsin C－cos Bsin C－sin C＝0. ∵sin C>0，∴3sin B－cos B－1＝0， 即sin ??B－π6??＝12， ∵B∈(0，π)，∴B＝π

3.

(2)由(1)得：2R＝

b

sin B

＝2，a＋c＝2R(sin A＋sin C) ＝23sin??C＋π6??. ∵C∈??0，2π3??，∴23sin??C＋π6??∈(3，23]， ∴a＋c的取值范围为(3，23]．