微分方程讲义

据牛顿第二运动定律F?ma，得到函数v(t)应满足微分方程 ?dv?m?mg?kv ?dt?v?t?0?0dvdt方程是可分离变量的，分离变量得? mg?kvm两端积分，有 dvdt???mg?kvm1t??ln(mg?kv)??c1 km?k??tmgv??c?em ktmg?kv?e?kc1?em?k1?kc1其中c???e kmg由初始条件 vt?0?0，有c??k 于是所求的函数为 k??tmgv?(1?em) k【例2】有高为100厘米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面面积为1平方厘米，开始时容器内盛满了水，求水从小孔流出过程中容器里的水面的高度h( 水面与孔口中心间的距离 )随时间t变化的规律。 解：由水力学知道，水从孔口流出的流量Q( 即通过孔口横截面的水的体积V对时间t的变化率 )可用下列公式计算 dVQ??0.62?s2gh dt这里，0.62为流量系数，s为孔口横截面面积，g为重力加速度。 现在，孔口横截面面积为s ?1 dV?0.622ghdt?dV?0.622gh?dt 另一方面，设在微小时间间隔[t,t?dt]内，水面高度由h降至h?dh，可得到dV???r2dh 其中r是时刻t时的水面半径，右端置负号是由于dh?0，而dV?0。 如图，r?1002?(100?h)2?200h?h2 dV???(200h?h2)dh 得到微分方程0.622gh?dt???(200h?h2)dh 及初始条件ht?0?100 方程是可分离变量的方程 13dt???0.622g(200h2?h2)dh t???0.622g(400353h2?25h2)?C 将初始条件代入，定出常数C。 0???(400350.622g31002?251002)?C C??14g?15?1050.622 把C值代入并化简，得 35t??4.652g(7?105?103h2?3h2) 【注记】 本例通过对微小量的分析，得到了微分方程。这种方法称为微小量分析法。 课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第五章 微分方程 第三节 可分离变量的微分方程 教学要求： 1．理解齐次方程的概念； 2．掌握齐次方程的解法； 重 点： 常数变异法 难 点： 常数变异法 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 15分钟 2 齐次微分方程45分钟 3 例题及练习 30分钟 课后 作业 参考 资料