微分方程讲义

??y??2x ???yx?1?22y?x?c (c是任意常数 ) 把方程两端积分，得22?1?c 由初始条件，有由此定出c?1 2y?x?1 故所求曲线的方程为2验证：函数 y?c1ex?c2xex(c1,c2是任意常数) 是微分方程 y??解：y?2y??y?0 的通解。 ?c1ex?c2xex y??c1ex?c2ex?c2xex， ?2y???2c1ex?2c2ex?2c2xex y???c1ex?2c2ex?c2xex 显然y??故 y?2y??y?0 ?c1ex?c2xex 是微分方程的解。因c1,c2是相互独立的两个任意常数，而微分方程的阶数是二阶的，故它微分方程的通解。 课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第二讲 可分离变量的微分方程 教学要求： 掌握可分离变量的微分方程的解法 重 点：掌握可分离变量的微分方程的解法 难 点： 可分离变量的微分方程的解法 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 10分钟 2 可分离变量的微分方程45分钟 3 练习 35分钟 课后 作业 参考 资料 如果一阶微分方程能化成 g(y)dy?f(x)dx 的形式，那么原方程称之为可分离变量的微分方程。 为讨论这类微分方程的求解，我们先看两个引例 对于一阶微分方程 dy?2x dx只需将上式两端积分就得到了这个方程的通解 y?x2?c 但是，并非所有的一阶微分方程都能这样求解。 例如，对于一阶微分方程 dy?2xy2 dx就不能直接两端取积分求出它的通解。原因是方程右端含有未知函数，积分出来。为了解决这个困难，在方程的两端同乘以2?2xydx求不dxy2，使方程变为dyy2?2xdx 这样，变量y与x被分离在等式的两端，然后两端积分得 12?2xdx???x?c?2?yy 如此得到的函数是原来的微分方程的解吗? 直接验证：对方程两边关于x求导，有 dy1dy??2x?2dxy可见，它确实是原方程的通解。 下面讨论可分离变量微分方程 dy?2xy2dx g(y)dy?f(x)dx? 的求解。 假定函数设yf(x)和g(y)是连续的。 ??(x)是方程?的解，将它代入方程得到恒等式 g[?(x)]???(x)dx?f(x)dx 将上式两端积分有 ?g[?(x)]???(x)dx??f(x)dx 引入变量替换y??(x)，得 ?g(y)dy??f(x)dx 设G(y)及F(x)依次为g(y)及f(x)的原函数，于是有 G(y)?F(x)?c? 因此，方程?的解满足关系式?。 反之，如果y数的直接求导法有 ??(x)是?式所确定的隐函数，那未在g(y)?0的条件下，据隐函dydyG?(y)??F?(x)?g(y)??f(x)?g(y)dy?f(x)dx dxdx因此，函数y??(x)满足方程?。 f(x)和g(y)连续，且g(y)?0，那么?式两端积分后f(x)?0时，?式所确综合上述讨论有 如果可分离变量方程?中的得到的关系式?，它用隐式的形式给出了方程?的解。 由于?式含有任意常数，故?式叫做微分方程的隐式通解( 当定的隐函数也可认为是方程?的解)。 【例1】设降落伞从跳伞塔下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开跳伞塔时(t?0)速度为零，求降落伞下落速度与时间的函数关系。 解：设伞下落速度为v(t)，在下落时，同时受到重力P与阻力R的作用，重力大小为mg，方向与v一致;阻力大小为kv(k为比例系数 )，方向与v相反，从而伞所受外力为 F?mg?kv