2017年湖北省宜昌市中考数学试卷及详细解析

∴四边形PKBG的最大面积为1+1+=．

【点评】本题为四边形的综合应用，涉及矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积、二次函数的性质及方程思想等知识．在（1）①中注意反证法的应用，在（1）②中证得CE=EF是解题的关键，在（2）中确定出△OBG面积的最大值是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

24．（12分）已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0． （1）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根； （2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限；

（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，D两点．设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与x轴相交于E．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S△ADF=S△ADE，求此时抛物线的表达式．

【考点】HF：二次函数综合题

【专题】15 ：综合题；535：二次函数图象及其性质．

【分析】（1）根据a+b+c=0，结合方程确定出方程的一个根即可；

（2）表示出抛物线的对称轴，将2a=b代入，并结合a+b+c=0，表示出c，判断顶点坐标即可；

（3）根据表示出的b与c，求出方程的解确定出抛物线解析式，由直线y=x+m与x，y轴交于B，C两点，表示出OB=OC=|m|，可得出三角形BOC为等腰直角

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三角形，确定出三角形ADE面积，根据三角形ADF等于三角形ADE面积的一半求出a的值，即可确定出抛物线解析式．

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c，a+b+c=0， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为x=1； （2）证明：∵2a=b， ∴对称轴x=﹣

=﹣1，

把b=2a代入a+b+c=0中得：c=﹣3a， ∵a＞0，c＜0， ∴△=b2﹣4ac＞0， ∴

＜0，

）在第三象限；

=

，

则顶点A（﹣1，

（3）由b=2a，c=﹣3a，得到x=解得：x1=﹣3，x2=1，

二次函数解析式为y=ax2+2ax﹣3a，

∵直线y=x+m与x，y轴分别相交于点B，C两点，则OB=OC=|m|，

∴△BOC是以∠BOC为直角的等腰直角三角形，即此时直线y=x+m与对称轴x=﹣1的夹角∠BAE=45°，

∵点F在对称轴左侧的抛物线上，则∠DAF＞45°，此时△ADF与△BOC相似， 顶点A只可能对应△BOC的直角顶点O，即△ADF是以A为直角顶点的等腰直角三角形，且对称轴为x=﹣1， 设对称轴x=﹣1与OF交于点G， ∵直线y=x+m过顶点A（﹣1，﹣4a）， ∴m=1﹣4a，

∴直线解析式为y=x+1﹣4a， 联立得：

，

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解得：或，

这里（﹣1，﹣4a）为顶点A，（﹣1，﹣4a）为点D坐标， 点D到对称轴x=﹣1的距离为﹣1﹣（﹣1）=，AE=|﹣4a|=4a， ∴S△ADE=××4a=2，即它的面积为定值， 这时等腰直角△ADF的面积为1， ∴底边DF=2，

而x=﹣1是它的对称轴，此时D、C重合且在y轴上，由﹣1=0， 解得：a=1．

此时抛物线解析式为y=x2+2x﹣3．

【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的关系，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．

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考点卡片

1．倒数

（1）倒数：乘积是1的两数互为倒数．

一般地，a?1a=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是1a． （2）方法指引：

①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．

②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同．

【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的倒数 注意：0没有倒数．

2．有理数大小比较 （1）有理数的大小比较

比较有理数的大小可以利用数轴，他们从左到右的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小． （2）有理数大小比较的法则： ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数；

④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【规律方法】有理数大小比较的三种方法

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求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置