2019年江西省南昌市高考数学一模试卷(文科)

a3．

方法二，根据等差数列的性质a2+a4＝2a3，即可求出．

【解答】解：方法一：∵{an}为等差数列，a2＝2a3+1，a4＝2a3+7， ∴

解得a1＝﹣10，d＝3， ∴a3＝a1+2d＝﹣10+6＝﹣4． 方法二：a2＝2a3+1，a4＝2a3+7， ∴a2+a4＝4a3+8， ∵a2+a4＝2a3， ∴2a3＝4a3+8， ∴a3＝﹣4， 故答案为：﹣4．

【点评】本题考查等差数列中第3项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

14．（5分）底面边长6，侧面为等腰直角三角形的正三棱锥的高为 ．

，

【分析】由正三棱锥知，底面为正三角形，得OB长，在直角三角

形OAB中得AO即为正三棱锥的高．

【解答】解：过A向底面BCD做垂线，垂足为O，由正三棱锥知，底面为正三角形，O为三角形ABC的中心，所以OB＝2

，

，在Rt△OAB中，有勾股定理所以OA

因为侧面为等腰直角三角形，所以侧棱AB＝3＝

．

．

故答案为

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【点评】本题考查正三棱锥的性质，属于简单题．

15．（5分）已知锐角A满足方程3cosA﹣8tanA＝0，则cos2A＝ 2

．

【分析】化简已知等式，利用同角三角函数基本关系式可求3sinA+8sinx﹣3＝0，解得sinA的值，利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．

【解答】解：∵锐角A满足方程3cosA﹣8tanA＝0，可得：3cosA＝8sinA， ∵cosA+sinA＝1，

∴3sinA+8sinx﹣3＝0，解得：sinA＝，或﹣3（舍去）， ∴cos2A＝1﹣2sinA＝1﹣2×＝． 故答案为：．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法，考查了同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．

16．（5分）若对任意t∈[1，2]，函数f（x）＝tx﹣（t+1）x+a总有零点，则实数a的取值范围是 （﹣∞，

] ．

2

2

22

2

22

2

2

【分析】根据函数恒有零点，转化为判别式△＝（t+1）﹣4at≥0在t∈[1，2]上恒成立，利用参数分离法转化求最值即可．

【解答】解：若对任意t∈[1，2]，函数f（x）＝tx﹣（t+1）x+a总有零点， 则判别式△＝（t+1）﹣4at≥0在t∈[1，2]上恒成立， 即4a≤

＝（+1），

2

2

2

22

∵t∈[1，2]，∴∈[，1]，

即当＝时，（+1），取得最小值为（+1）＝， 即4a≤，得a≤

，

第14页（共22页）

2

2

即实数a的取值范围是（﹣∞，故答案为：（﹣∞，

]．

]，

【点评】本题主要考查函数零点的应用，根据条件转化为不等式恒成立，利用参数分离法求函数的最值是解决本题的关键．综合性较强，质量较高．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．

17．（12分）函数A（0，

），C（2，0），并且ABx∥轴．

的部分图象如图所示，

（Ⅰ）求ω和φ的值； （Ⅱ）求cos∠ACB的值．

【分析】（Ⅰ）根据函数过A，C两点，代入进行求解即可． （Ⅱ）根据条件求出B的坐标，利用向量法进行求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）由已知又所以

由f（2）＝0，即解得

，k∈Z，而，所以

，

………（3分）

，所以

，所以，令

或

，k∈Z， ．………（8分）

，所以

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，

，k∈Z， ．………（6分） ，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得

所以x＝6k或x＝6k+1，由图可知，所以

，………（10分）

所以分）

．……………………………………………（12

【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，以及三角函数余弦值的计算，利用向量法以及待定系数法是解决本题的关键．

18．（12分）如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中点． （Ⅰ）求证：AA1⊥BD；

（Ⅱ）求三棱锥B1﹣A1C1E的体积．

【分析】（Ⅰ）推导出CC1⊥BD，BD⊥AC．从而BD⊥平面ACC1．由此能证明BD⊥AA1． （Ⅱ）三棱锥B1﹣A1C1E的体积

．

【解答】证明：（Ⅰ）因为CC1⊥底面ABCD，所以CC1⊥BD． 因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC． 又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1．

又由四棱台ABCD﹣A1B1C1D1，知A1，A，C，C1四点共面． 所以BD⊥AA1． 解：（Ⅱ）由已知，得又因为

＝

＝?AA1＝

＝

＝

＝

， ，

＝

＝

＝

所以三棱锥B1﹣A1C1E的体积：

＝

＝

＝

＝

．

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