高二数学选修4-4 坐标系与参数方程课后作业及答案

（1）???

x＝3cos θ，??

?y＝3sin θ?θ为参数，0＜θ＜π2??x＝2cos t，?

?；（2）???y＝2sin t

(t为参数，π≤t≤2π)； （3）???x＝3＋15cos θ，

??

y＝2＋15sin θ

(θ为参数，0≤θ＜2π)．

11．（1）写出圆心在点(－1,2)，半径为3的圆的参数方程． （2）圆的方程为x2＋y2＝2y，写出它的参数方程．

12．在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，?

23π?x＝?3，2??，圆C的参数方程为?

2＋2cos θ，?y＝－3＋2sin θ

(θ为参数)． （1）设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程； （2）判断直线l与圆C的位置关系．

第四课时 椭圆的参数方程

1．椭圆???x＝acos θ，

??

y＝bsin θ

(θ为参数)，若θ∈[0,2π)，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ＝( )

A．π B．π3π

2 C．2π D．2

2．椭圆???x＝4＋2cos θ，

??

y＝1＋5sin θ

(θ为参数)的焦距为( )

A．21 B．221 C．29 D．229[来源: 3．当参数θ变化时，动点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A．点(2,3) B．点(2,0) C．点(1,3) D．点??0，π

2?? 4．点(2,33)对应曲线???x＝4cos θ，

??

y＝6sin θ

(θ为参数)中参数θ的值为( )

A．kπ＋π6(k∈Z) B．kπ＋πππ

3(k∈Z) C．2kπ＋6(k∈Z) D．2kπ＋3

(k∈Z)

5．设O是椭圆???x＝3cos φ，π

??

y＝2sin φ

(φ为参数)的中心，P是椭圆上对应于φ＝6的点，那么直线OP的斜率为( )

A．

3333 B．3 C．23

2 D．9

6．二次曲线???x＝5cos θ，

??

y＝3sin θ

(θ为参数)的左焦点的坐标是________．

7．（1）点P(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则x＋y的最大值为______，最小值为________． （2）实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则2x＋3y的最大值是________．

8．曲线??x＝4cos θ，

?

y＝23sin θ

(θ为参数)上一点P到点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为________．

9．(2013·湖南卷)在平面直角坐标系xOy中，若l：???x＝t，??x＝3cos φ，

??y＝t－a (t为参数)过椭圆C：???

y＝2sin φ

(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________

10．直角坐标系xOy中，已知曲线C??x＝t＋1，??x＝asin θ，

1：???y＝1－2t (t为参数)与曲线C2：???

y＝3cos θ

(θ为参数，a>0)

有一个公共点在x轴上，则a＝________.

11．(2013·湖北卷)在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为???x＝acos φ，

??

y＝bsin φ

(φ为参数，a>b>0)．在极坐

标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin??θ＋π4??＝2

2m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．

12．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为??x＝3 cos α，

?y＝sin α

(α为参数)．

（1）已知在极坐标(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为??4，π

2??

，判断点P与直线l的位置关系； （2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

13．在平面直角坐标系xOy中，曲线C???x＝cos φ，

1的参数方程??y＝sin φ

(φ为参数)，曲线C2的参数方程为

???x＝acos φ，

??

y＝bsin φ

(a>b>0，φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与C1，C各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2；当α＝π

22

时，这两个交点重合．

（1）分别说明C1、C2是什么曲线，并求出a与b的值；

（2）设当α＝π4时，l与Cπ

1、C2的交点分别为A1、B1，当α＝－4时，l与C1、C2的交点为A2、B2，求四

边形A1A2B2B1的面积．

第五课时 双曲线抛物线参数方程

1．双曲线??x＝23tan α，

?y＝6sec α

(α为参数)的两焦点坐标是( )

A．(0，－43)，(0,43) B．(－43，0)，(43，0) C．(0，－3)，(0，3) D．(－3，0)，(3，0)

??x＝sin αcos α．参数方程?2＋2，2?

(α为参数)的普通方程为( )

?y＝2＋sin α

A．y2－x2＝1 B．x2－y2＝1 C．y2－x2＝1(|x|≤2) D．x2－y2＝1(|x|≤2)

??xt

－t

3．参数方程?＝e－e，

??

y＝et

＋e－t

(t为参数)表示的曲线是( ) A．双曲线 B．双曲线的下支 C．双曲线的上支 D．圆

4．点P(1,0)到曲线???x＝t2

，

??

y＝2t

(t为参数，t∈R)上的点的最短距离为( )

A．0 B．1 C.2 D．2

5．若曲线???x＝2pt，

??

y＝2pt2

(t为参数)上异于原点的不同两点M1、M2所对应的参数分别是t1、t2，则弦M1M2所在直线的斜率是( )

A．t11

1＋t2 B．t1－t2 C．t1＋t2 D．t1－t2

6．参数方程???x＝sin θ＋cos θ，

??

y＝sin θcos θ

(θ为参数)表示的曲线为( )

2

7．曲线???x＝2pt，

??

y＝2pt

(t为参数)上两点A、B所对应的参数分别为t1、t2，且t1＋t2＝0，则|AB|为 ( )

A．|2p(t1－t2)| B．2p(t1－t2) C．2p(t21＋t22) D．2p(t1－t2)2

8．（1）双曲线??x＝3sec 2，

?y＝tan 2

的顶点坐标为________．

（2）圆锥曲线???x＝4sec θ＋1，

??y＝3tan θ (θ为参数)的焦点坐标是________．

（3）双曲线???x＝2＋3tan φ，

??y＝sec φ

(φ为参数)的渐近线方程为________．

9．(2013·陕西卷)圆锥曲线??

?x＝t2，??y＝2t

(t为参数)的焦点坐标是________．

10．在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：???x＝1＋s，

??y＝1－s

(s为参数)和

C??

?x＝t＋2，??

y＝t2

(t为参数)，若l与C相交于A、B两点，则|AB|＝________. 11．(2013·江西卷)设曲线C的参数方程为???x＝t，??

y＝t2

(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．

12．(2013·深圳一调)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

C的参数方程为??x＝t，

1?y＝t＋1

(t为参数)．曲线C2的极坐标方程为ρsin θ－ρcos θ＝3，则C1与C2交点在直角坐

标系中的坐标为________．

13．(2013·重庆卷)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐

2

标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线???x＝t，

??

y＝t3

(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________ ?x＝a1

?2??t＋?14．将参数方程t?，

?y＝b2?1?t－t??

(t为参数，a＞0，b＞0)化为普通方程．

15．设方程???x＝t＋2sec θ，

??y＝2t＋tan θ.

（1）当t＝1时，θ为参数，此时方程表示什么曲线？把参数方程化为普通方程； （2）当θ＝π

4时，t为参数，此时方程表示什么曲线？把参数方程化为普通方程．

??x＝t＋1，

16．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?(t为参数)，曲线C的参数

A．(3，－3) B．(－3，3) C．(3，－3) D．(3，－3)

??

y＝2t方程为???x＝2tan2

θ，??

y＝2tan θ

(θ为参数)，试求直线l与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．

17．过抛物线y2＝2px(p＞0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB(如下图)．

（1）设OA的斜率为k，试用k表示点A、B的坐标； （2）求弦AB中点M的轨迹过程．

第六课时 直线方程的参数方程

?

x＝－1＋t1．以t为参数的直线方程?2

，

，M(x，y)是曲线上的定点和动点，则t的几何意义是( ?y＝2＋3

2

t，

M0(－1,2)A．M0M B．MM0 C．|M0M| D．22 2．直线???x＝2＋3t，

??

y＝－1＋t

(t为参数)上对应t＝0，t＝1两点间的距离是( )

A．1 B．10 C．10 D．22 3．下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是( )

A．???x＝1＋t，??x??y＝3＋t (t为参数) B．?＝1－t，??

y＝5－2t

(t为参数) ?x＝2＋25C．???

x＝1－t，?y＝3－2t为参数) D．?

5t，

?

t

((t为参数)

?y＝5＋55

t

4．直线???

x＝－2＋tcos 30°

，??

y＝3－tsin 60°

(t为参数)的倾斜角α等于 ( )

A．30° B．60° C．－45° D．135°[来

?x＝1＋15．直线?

2

t，

t为参数)和圆x2＋y2

＝16交于A、B两点，则AB的中点坐标为( )

?y＝－3

3＋32

t

(?

x＝2＋16．直线的参数方程为?2

t，

．[来源:学

?y＝3＋3

2

t

(t为参数)，则它的斜截式方程为____________________7．设直线的参数方程为??

?x＝－1＋t，??y＝2－4t

(t为参数)，则点(3,6)到该直线的距离是________．

8．若直线???x＝1－2t，

??

y＝2＋3t

(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________

9．若直线l??x＝1－2t，?x＝??y＝2＋kt )与直线l?

s，1：?(t为参数2：???

y＝1－2s

(s为参数)垂直，则k＝________.

10．(2013·湖南卷)在平面直角坐标系xOy中，若直线l??x＝2s＋1，??x＝1：?at，

??y＝s (s为参数)和直线l2：???

y＝2t－1

(t为参数)平行，则常数a的值为________________。

??x＝2?)

11．直线?＋t，??y＝－1－t (t为参数)与曲线??x＝3cos α，

??

y＝3sin α

(α为参数)的交点个数为________． 12．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为??

?x＝1＋t，??

y＝4－2t

(参数t∈R)，若以O为极点，x轴

的正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sin θ，则直线l被曲线C所截得的弦长为________．[

13．如图，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角α＝π

6，若将l的极坐标方程写成ρ＝f(θ)

的形式，则f(θ)＝____________.

14．设直线l5

1过点A(2，－4)，倾角为6π.

（1）求l1的参数方程；

（2）设直线l2：x－y＋1＝0，l2与l1的交点为B，求点B与点A的距离．

15．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建

?x＝22t，

立平面直角坐标系，直线l的参数方程是?

?y＝－4＋2

2

t

(t为参数)，点P是曲线C上的动点，点Q是直线

l上的动点，求|PQ|的最小值．

16．已知直线C：??x＝1＋tcos α，??x＝cos θ1?，??y＝tsin α (t为参数)和圆C2：???

y＝sin θ

(θ为参数)．[来源:Zxxk.Com] （1）当α＝π

3

时，求C1与C2的交点坐标；

（2）过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求点P轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

第七课时 渐开线与摆线

1．关于渐开线和摆线的叙述，正确的是( ) A．只有圆才有渐开线

B．渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形 C．正方形也可以有渐开线

D．对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同 2．半径为1的圆的渐开线的参数方程为( )

A．???x＝θ－sin θ， ???y＝1－cos θ(θ为参数) B．??x＝1－sin θ，

??y＝θ－cos θ

(θ为参数) C．???x＝cos θ＋θsin θ，???y＝sin θ－θcos θ (θ为参数) D．??x＝cos θ－θsin θ，??

y＝sin θ＋θcos θ

3．给出下列说法：①圆的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；②圆的渐开线也可以转化为普通方程，但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；③在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；④圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点．其中正确的说法有( )

A．①③ B．②④ C．②③ D．①③④

4．如下图所示，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫作“正方形的渐开线”，其中AE，EF，FG，GH，…的圆心依次按B，C，D，A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )

A．3π B．4π C．5π D．6π 5．基圆半径为2的渐开线的参数方程是__________．

6．已知摆线的生成圆的直径为80 mm，则摆线的参数方程为____________________________________，

其一拱的宽为________，拱高为________．

7．已知参数方程为???x＝2cos α，

??

y＝2sin α

(α为参数)，则该圆的渐开线参数方程为__________________________，

摆线参数方程为____________________________．

8．渐开线??

?

x＝φ＋φsin φ，??y＝

φ－φcos φ

(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍(纵

坐标不变)得到的曲线的焦点坐标为________．

9．当φ＝π

??x＝cos φ＋φsin φ，2，π时，求出渐开线???

y＝sin φ－φcos φ

(φ为参数)上的对应点A，B，并求出A，B间的距离．

10．已知圆的直径为2，其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A，B对应的参数分别为ππ

3和2，求点A、

B的直角坐标．

11．求摆线???x＝φ－sin φ，

??

y＝－cos φ

(φ为参数且0≤φ≤2π)与直线y＝2的交点的直角坐标．

12．设圆的半径为4，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴相切于原点O，记圆上动点为M，它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y的最大值．

13．已知一个圆的摆线方程是??

?x＝4φ－4sin φ，??

y＝4－4cos φ

(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数

方程．

14．已知一个圆的摆线过一定点(2,0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的

参数方程．