2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1变化率与导数导数的计算真题演练集训理新人教A版201705240168

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数、导数的计算真题演练集训 理 新人教A版

1．[2014·大纲全国卷]曲线y＝xeA．2e C．2 答案：C 解析：y′＝e

x－1

x－1

在点(1,1)处切线的斜率等于( )

B．e D．1

＋xe

x－1

＝(x＋1)e

x－1

，故曲线在点(1,1)处的切线斜率为y′|x＝1＝2.

2．[2014·新课标全国卷Ⅱ]设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝( )

A．0 C．2 答案：D 解析：y′＝a－

1

，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3. x＋1

B．1 D．3

3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．

答案：y＝－2x－1

1

解析：由题意可得，当x>0时，f(x)＝ln x－3x，则f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，则在

x点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.

4．[2016·新课标全国卷Ⅱ]若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.

答案：1－ln 2

解析：设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，ln x1＋2)和(x2，ln(x2

1

＋1))，则切线分别为y－ln x1－2＝(x－x1)，

x1

y－ln(x2＋1)＝

1

(x－x2)， x2＋1

11x2

化简得y＝x＋ln x1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，

x1x2＋1x2＋1

1

11＝??xx＋1，

依题意，得?xln x＋1＝－＋??x＋1

1

2

2

1

2

x2＋，

1

解得x1＝，从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2.

2

1x5．[2015·陕西卷]设曲线y＝e在点(0,1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线

x垂直，则P的坐标为________．

答案：(1,1)

1xx0

解析：y′＝e，曲线y＝e在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e＝1，设P(m，n)，y＝(x>0)

x111

的导数为y′＝－2(x>0)，曲线y＝(x>0)在点P处的切线斜率k2＝－2(m>0)．因为两切线

xxm垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．

课外拓展阅读

求解导数问题最有效的两种解题方法

方法一 公式法

利用导数公式和运算法则求导数的方法为公式法，其基本的解题步骤是： 第一步，用公式，运用导数公式和运算法则对所给函数进行求导； 第二步，得结论； 第三步，解后反思．

π?2?[典例1] [改编题]求函数y＝sin?2x＋?的导数． 3??[思路分析]

π???π???[解] 解法一：y′＝2sin?2x＋??sin?2x＋??′

3???3???π??π??π??＝2sin?2x＋?cos?2x＋?·?2x＋?′

3??3??3??

2

π??π??＝4sin?2x＋?cos?2x＋? 3??3??2π??＝2sin?4x＋?. 3??

π2

解法二：设y＝u，u＝sin v，v＝2x＋，

3则y′＝yu′·uv′·vx′ ＝2u·cos v·2 ＝4sin vcos v

π??π??＝4sin?2x＋?cos?2x＋? 3??3??2π??＝2sin?4x＋?. 3??温馨提示

当函数中既有复合函数求导，又有函数的四则运算时，要根据题中给出的表达式决定是先用四则运算还是先用复合函数求导法则，同时需要注意，复合函数的求导原则是从外层到内层进行，不要遗漏．

方法二 构造法

有些与函数有关的问题无法直接用导数来处理的，需要构造新的函数进行解决，这样的方法称为构造法，其基本的解题步骤是：

第一步，构造函数，对要求的函数进行变形，或构造一个新的函数；

第二步，运用公式，对变形后的函数或新构造的函数运用导数公式和运算法则进行求导； 第三步，得出结论．

[典例2] 证明：当x＞1时，有ln(x＋1)＞ln x· ln(x＋2)． [思路分析]

2

3

[证明] 构造辅助函数f(x)＝

x＋ln x(x＞1)，于是有f′(x)＝

xln x－x＋

xx＋

x＋

2

x. 因为1＜x＜x＋1， 所以0＜ln x＜ln(x＋1)， 即xln x＜(x＋1)ln(x＋1)． 则在(1，＋∞)内恒有f′(x)＜0， 故f(x)在(1，＋∞)内单调递减． 又1＜x＜x＋1， 则f(x)＞f(x＋1)， 即

x＋ln x2

＞

x＋x＋

，

所以ln(x＋1)＞ln x·ln(x＋2)． 技巧点拨

要证明f(x)＞g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＞0，则

F(x)在(a，b)内是增函数，同时F(a)≥0，则有x∈(a，b)时，F(x)＞0，即证明了f(x)＞g(x)．同

理可证明f(x)＜g(x)．但要注意，此法中所构造的函数F(x)在给定区间内应是单调的．

混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误

1532

[典例3] 若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x和y＝ax＋x－9都相切，则a＝( )

425

A．－1或－ 64725C．－或－

464

21

B．－1或

47

D．－或7

4

[易错分析] 没有对点(1,0)是否为切点进行分析，误认为是切点而出错． [解析] 因为y＝x，所以y′＝3x，

设过点(1,0)的直线与y＝x相切于点(x0，x0)， 则在该点处的切线斜率为k＝3x0， 所以切线方程为y－x0＝3x0(x－x0)， 即y＝3x0x－2x0.

3

又点(1,0)在切线上，所以x0＝0或x0＝.

2

15252

当x0＝0时，切线方程为y＝0，由y＝0与y＝ax＋x－9相切可得a＝－；

464327272727152

当x0＝时，切线方程为y＝x－，由y＝x－与y＝ax＋x－9相切，可得a＝

244444

4

2

3

3

2

2

3

3

3

2

－1.

25

综上，a的值为－1或－. 64[答案] A 易错提醒

1．对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式、求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．

2．对于已知的点，应先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解．

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