线性代数复习题

?301???2.设A??040? （1）A是否能对角化？说明理由。

?103??? （2）若能，试求可逆矩阵P，使P?1AP为对角阵。

?1??0??0???????3.三阶方阵A的特征值为1,0,?1， 对应特征向量分别为?1??1?,?2??1?,?3??0?, 求

?1??1??1???????A88。

?200???4.设A??032? (1) 求A的特征值和特征向量；

?023??? (2) A是否可对角化？若可对角化，试求矩阵P，使得P?1AP成为对角形。

实对称矩阵的正交对角化

一、填空题

1.设向量??(1,5,k,?1)T 与向量??(2k,3,?2,k)T 相互正交， 则k = 。 2.向量??(1,2,3)T与??(?1,2,b)T正交，则b?_______________。

3.已知??(1,1,0,?1),??(?1,?2,0,1)。则内积[3???,???]? 。 4.设???1,2,a,4?,????4,b,?2,1?,若?与?正交,则a,b应满足的关系为 。 5.设A为n阶正交阵，则A必可逆，且A?1?_____________。

6.设向量?,?分别为实对称阵A的两个不同特征值?1,?2所对应的特征向量，则

[?,?]=________。

????7.已知矩阵A??????1212013131?3??a????a?为正交矩阵，则矩阵元素a,b分别为 __________ 。 ??b??二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明） 1.设A为正交阵，则矩阵A的实特征值?满足等式：?2?1。 2.若A是正交方阵,则A?1?AT也是正交阵，且A?1或?1。

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3.设A,B都是n阶正交方阵,则AB也是n阶正交方阵。

??1?14.矩阵A????2?1??3??12????是正交矩阵。 ???1???1312112三、解答题

1.设?1??1,2,?1?,?2???1,3,1?,?3??4,?1,0?,将该向量组规范正交化。 2.将向量a1??1,?1,0?，a2??1,0,1? ，a3??1,?1,1?化成规范正交基。 3．设?1??2,?2,1?,?2??0,1,?1?,试求数k1,k2，使向量??k1?1?k2?2 是与?1正交的单位向量，并求?.

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