线性代数复习题

?x1?x2?x3?x4?0?3.求齐次线性方程组?x1?x2?x3?3x4?0的基础解系与其通解。

?x?x?2x?3x?0234?1?x1?x2?x3?x4?1?x?3x?5x?x?3?12344.已知线性方程组?，求k，使得上述方程组有解，并求出所有

?x1?x2?3x3?5x4?3??x1?5x2?11x3?12x4?k的解。

?kx1?(k?1)x2?x3?1?5.讨论方程组?kx1?kx2?x3?2，当k取何值时

?2kx?2(k?1)x?kx?223?1（1）方程组无解？

（2）方程组有无穷多解？并求出通解. （3）方程组有唯一解？

6.讨论下列方程组中的参数，研究方程组的解。

??x1?x2?x3???3?x1?x2?x3?u??(1) ?x1??x2?x3??2； (2) ?2x1?x2?x3?1；

?x?vx?0?x?x??x??23?1123??ux1?x3?1?(3) ?x1?ux2?x3?1

?x?x?v?13向量组的线形相关性

一、 填空题

1.?1?(1,3,5), ?2?(1,1,3), ?3?(1,a,6)线性相关 ,则a的值为__________。 2.若向量 (2,3,?1,0,1)与 (?4,?6,2,a,?2)线性相关，则a的取值为 。 3.设向量组?1?(1,2,3)， ?3?(?1,1,0),则向量组?1,?2,?3的秩是 。?2?(2,1,3)，4.设向量组I：?1,L,?r 的秩为p， 向量组II：?1,L,?s 秩为q， 且向量组I 能由向量组II线性表出，则p与q的大小关系是_________________。 5.设向量组 I:?1,L,?s线性无关，而?1,?2 都能由I 线性表出，则秩(?1,L,?s,?1,?2 )= 。

6.已知一个向量组含有两个或两个以上的极大线性无关组,则各个极大线性无关组所含向量的个数必定 。

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二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明） 1.3维向量组?1,?2,?3,?4必线性相关。

2.若一个向量组线性相关，则该向量组中必含有零向量。

3.如果向量组?1,?2,L,?s线性相关，那么这个向量组中一定有两个向量成比例。 4.包含零向量的向量组是线性相关的。

5. n维向量组?1,L,?s与n维向量组?1,L,?s秩相等，则这两个向量组必能互相线性表出。

6.若两个向量构成的向量组线性相关，则它们必成比例。 三、解答题

1.求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示 (1) ?1?(0,?1,?1)T,?2?(1,1,2)T,?3?(1,0,1)T；

(2) ?1?(3,3,1,2)T,?2?(0,1,1,2)T,?3?(3,2,0,0)T,?4?(1,1,1,1)T；

(3) ?1??1,1,?2,1?，?2???1,2,?1,5?，?3??1,?1,0,?3?，?4??3,?1,?2,?5?。 (4) ?1??1,0,1,2?，?2??2,4,0,3?，?3??3,?4,?3,5? ， ?4???1,?2,2,?1?，

TTTTTTTT?5??2,10,?1,0? 2.判断下列向量组的等价性

?1??1,0,1?,?2??0,1,0?,?3??1,1,1?与?1??1,?1,1?,?2??1,0,0?。

TTTTTT?2?1?11?11?213.设矩阵A???4?62?2??36?972??4?，求矩阵A的列向量组的一个极大无关组，并把不属?4?9?于极大无关组的列向量用该极大无关组线性表示。

4.设?1?(6,a?1,3)T,?2?(a,2,?2)T,?3?(a,1,0)T，求a为何值时，（1）?1,?2,?3线性相关？（2）?1,?2,?3线性无关？

方阵的特征值与特征向量

一、填空题

1.设?1,?2,?,?n是n阶矩阵A的n个特征值， 则A?_________。 2.3阶方阵A的特征值为3,?1,2，则A?_______。

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3.若??3是可逆方阵A的一个特征值，则A?1必有一个特征值为 。 4.设?1,?2是分别属于方阵A的不同特征值?1,?2的特征向量，则?1,?2必线性 。 5.实对称矩阵A?02OL 的两个特征值为__________。 MP23NQ6.设实数?是实矩阵A的某个特征值，则可知矩阵 B?A3?2A2?E的某个特征值

??_____。

7.若已知n阶方阵A的行列式A?2，??2是矩阵A的一个特征值，则其伴随矩阵A*必有一个特征值为__________。

8.已知3阶矩阵A的特征值为1,?1,2，则矩阵B?A3?2A2的特征值为_______________。 9.设A是幂零矩阵,即存在正整数k，使得Ak?0，则A的特征值为 。 10.设A为n阶方阵，且A2?5A?6E?O，则A的特征值只能是________________。

?1??1?????11.设向量?1??1?和?2??0?都是矩阵A对应特征值??2的特征向量，且向量

?0??1????????1?2?2，则向量A?? 。

12.已知2是A的一个特征值，则|A2?A?6E|?_______________。 二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明） 1.可逆矩阵的特征值一定不为零。

2.若?是n阶矩阵A的特征值，则?2是A2的特征值。 3.设A为n阶方阵，则A与AT有相同的特征值。 4.设A为n阶方阵，则A与AT有相同的特征多项式。

5.设?1,?2是矩阵A的两个不同的特征值,?1,?2是对应的特征向量,则?1??2也是A的特征向量。 三、解答题

1.求下列矩阵的特征值、特征向量：

??211???(1).A??020?；

??413??? 11

?310???(2).B???4?10?；

?4?8?2????31?1???(3).C??35?3?；

?002????001???(4).D??010?。

?100???2.已知3阶方阵A的特征值为1,2,?3,试求A??3A?2E。

?1??2?12?????3?的一个特征向量，3.已知???1?是矩阵A??5a试确定参数a,b及特征向量

??1???1b?2??????所对应的特征值。

相似矩阵

一、填空题

1.若n阶方阵A与B相似，且A?2，则BA? 。

?23??12??2.若?相似，则x? ，y? 。 ?与????yx??34?3.与n阶单位矩阵E相似的矩阵是 。 二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明） 1.相似矩阵的行列式相等。

2. 设矩阵A相似于矩阵B, 则A2与B2也必相似。

3.设A,B都是n阶方阵,若A与B相似,则A与B有相同的特征值。 4.设A,B都是n阶方阵,若A,B有相同的特征值,则A与B相似。 5.设A,B,C都是n阶方阵,若A与B相似, B与C相似,则A与C相似。 三、解答题

?200???1.设矩阵A??12?1?，（1）求A的特征值和特征向量；

?101???（2）试求一可逆矩阵P，使得P?1AP为对角阵。

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