线性代数复习题

?100??12?4?TBA。 12.设A??，，求B??????111??14?2?13.设A是n阶方阵,且A?2,求3A?1?2A?,其中A* 是A的伴随矩阵。

逆矩阵

一、 填空题

1.试写出n阶方阵A可逆的几个充分必要条件（越多越好） 。

?200???1A? 。 2.设矩阵A??，则012???035????1?33.设A???0??0240000350??0?，则A?1? 。 4??7?4.已知矩阵A满足A2?2A?3E?0，则A?1? 。

5.已知A,B,C为同阶方阵,且C可逆,若C?1AC?B,则C?1AmC? (m是整数)。

6.设A,B,C,D均为n阶方阵，且ABCD?E，则(BC)T(DA)T?________________。 7.设A,B,C均为n阶方阵，且ABC?E，则BT(CA)T?______________。 二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）

?010???1.矩阵?100?可逆，且其逆为其本身。

?001????100??102?????2. 矩阵?030?，?010?可逆，且其逆为其本身。。

?001??001?????3.若方阵A可逆，则其伴随矩阵A*也可逆。

4.设A,B都是n阶方阵,若A,B都可逆,则A?B可逆。 5.n阶方阵A满足A2?A?2E?0，则E?A可逆。

5

三、解答题

?1?21.已知A???0??1010112110?0??，求逆阵A?1。 0??1??101??? 2.设A??020?，求A?1

?110???3.用两种方法求下列矩阵的逆

?012??211????? A??234?,B??001?.

?479??100??????42?4.已知矩阵A和B满足关系式：AB?2A?B，其中B??11??12?3??0?，求矩阵A。 3??矩阵的秩

一、 填空题

1.试写出矩阵秩的定义： 。

?123??2.设矩阵A??456??，则A的秩R(A)? 。

?789????123???3.矩阵A??23?5?的秩为__________，A 的伴随矩阵A*= 。

?471???4.设A是3阶可逆方阵，B是3?4矩阵且R(B)?2，则R(AB)? 。

?102??5.设A??040??，B是3?4矩阵且R(B)?2，则R(AB)? 。

?203???6.设B是3?4矩阵且R(B)?2，则B的等价标准形为 。 7.设R(Am?n)?n，则A的等价标准形为 。

?120?1??8.设A??2013??，则A的等价标准形为 。

?5225???

6

二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明） 1.若矩阵A的秩为r，则A中必有某一个r?1阶子式不等于零。 2.若n阶方阵A的秩R(A)?n?1，则其伴随阵A*?0。 三、解答题

1.写出下列矩阵的等价标准形

?2?1?11???11?21?, A???4?62?2???3?74?3?????1??1?B??1???1?3113201113??1?1?，

02??20???k111???C??1k11?（对k讨论）

?11k2????1?112??2.设矩阵A??3??12??的秩为2，求?，?。

?53?6???线性方程组

一、 填空题

1.试写出线性方程组有解的一个充分必要条件 。

2.设A是n阶方阵，且秩(A)?r?n，则齐次线性方程组Ax?0的基础解系中含 个解向量。

?2x?3x2?3x3?2x4?03.方程组?1的基础解系中含 个解向量。

?7x1?2x2?x3?3x4?04.设?1,?2是n(n?3)元齐次线性方程组Ax?0的基础解系，则秩(A)= 。 5.矩阵Am?n的秩为r，则AX?0的基础解系一定由________个线性无关的解向量构成。 6.设A是n阶方阵,R?A??n?2,则线性方程组AX?0的基础解系所含向量的个数是 。

7

???10??x1??0???x???0?有非零解，则 ??0 或 ?? 。 ?11?17.若方程组????2?????0?2?????x3????0??8.设A是n阶方阵,若线性方程组AX?0有非零解,则必有A? 。

?x1?2x2?6x3?0?9. 已知齐次线性方程组 ?x1??x2?3x3?0 有无穷多解，则必有??____________. .

?2x?x?3x?03?12二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明） 1.n元线性方程组Ax?b(b?0)当R(A)?n时有无穷多解。

2.设A是n阶方阵,若方程组AX?b满足R(A)?R(A,b),则AX?b有唯一解。 3.对于线性方程组Ax?b (这里A为n阶方阵)，如果该方程组有解，则必有 R(A)?n。 4.设?1,?2是方程组AX??的解，则?1??2是AX??的解。 5.设?1,?2是方程组AX??的解，则?1??2是AX?0的解。 6.设?1,?2是线性方程组AX?0的解，则?1??2是AX?0的解。

7.设?1,?2是线性方程组AX??的解，则k?1?(1?k)?2是AX??的解，k是任意常数。 三、解答题 1.求解线性方程组

?x1?x2?2x3?x4??22x?x?3x??2?123?2x?2x?x?2x?5??234（1）?x1?x2?3x3??1； （2）?1。

x?2x?3x?4x??2234?1?2x?x?4x??93?12??3x1?x2?7x3?5x4?172.求下列各非齐次线性方程组的通解及对应齐次线性方程组的一个基础解系。

?x1?x2?5??x1?x2?x3?x4?1??(1) ?x1?x2?x3?x4?0； (2) ?2x1?x2?x3?2x4?1；

?5x?3x?2x?2x?3?1234?1x?x?2x?2x??34?122??x1?x2?2x4??6?(3) ?x1?x2?x3?x4?1

??x?x?x?3123? 8