3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数[教案版]带答案

三角函数专题 第1讲

任意角和弧度制及任意角的三角函数

基础梳理

1．任意角

(1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ②按终边位置不同分为象限角和轴线角．

(2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．

(3)弧度制

①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． l②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝，l是以角α作为圆心角

r时所对圆弧的长，r为半径． l③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．

r④弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度． ⑤弧长公式：l＝|α|r， 11扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2. 22

2．任意角的三角函数定义 设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r＞0)，那么角α的正弦、余弦、yxy正切分别是：sin α＝，cos α＝，tan α＝，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．

rrx

3．三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P在x轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P的坐标为(cos_α，sin_α)，即P(cos_α，sin_α)，其中cos α＝OM，sin α＝MP，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tan α＝AT.我们把有向线段OM、MP、AT叫做α的余弦线、正弦线、正切线．

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三角函数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT 为正切线

一条规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． π??(2)终边落在x轴上的角的集合{β|β＝kπ，k∈Z}；终边落在y轴上的角的集合?β|β ＝2＋kπ，k∈Z?；终边落????kπβ＝，k∈Z?. 在坐标轴上的角的集合可以表示为?β??2??

两个技巧 (1)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|＝r一定是正值． (2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． 三个注意 (1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角． (2)角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． (3)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题． 双基自测 9π1．(人教A版教材习题改编)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 4( )． 9A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z) 45πC．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 4

9π9

解析 与的终边相同的角可以写成2kπ＋π(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C正

44

确． 答案 C 2．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )． A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 解析 当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角； 当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角． 答案 A

3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )．

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A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

解析 由sin α＜0知α是第三、四象限或y轴非正半轴上的角，由tan α＞0知α是第一、三象限角．∴α是第三象限角． 答案 C

4．已知角α的终边过点(－1,2)，则cos α的值为( )．

525251

A．－ B. C．－ D．－ 5552

－15

解析 由三角函数的定义可知，r＝5，cos α＝＝－. 55答案 A 5．(2011·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ

25＝－，则y＝________. 5

解析 根据正弦值为负数且不为－1，判断角在第三、四象限，再加上横坐标为正，断定该角为第四象限y25角，∴y＜0，sin θ＝＝－?y＝－8. 516＋y2答案 －8

考向一 角的集合表示及象限角的判定

【例1】?(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合； 6πθ(2)若角θ的终边与角的终边相同，求在[0,2π)内终边与角的终边相同的角； 73α(3)已知角α是第二象限角，试确定2α、所在的象限． 2[审题视点] 利用终边相同的角进行表示及判断． π解 (1)在(0，π)内终边在直线y＝3x上的角是， 3∴终边在直线y＝3x上的角的集合为 ???π

?αα＝＋kπ，k∈Z?. 3???6πθ2π2kπ(2)∵θ＝＋2kπ(k∈Z)，∴＝＋(k∈Z)． 73732π2kπ318依题意0≤＋＜2π?－≤k＜，k∈Z. 7377θ2π20π34π∴k＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与相同的角为，，. 372121(3)∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z. ∴2k·360°＋180°＜2α＜2k·360°＋360°，k∈Z.

∴2α是第三、第四象限角或角的终边在y轴非正半轴上．

α

∵k·180°＋45°＜＜k·180°＋90°，k∈Z，

2

α

当k＝2m(m∈Z)时，m·360°＋45°＜＜m·360°＋90°；

2

当k＝2m＋1(m∈Z)时，

α

m·360°＋225°＜＜m·360°＋270°；

2

α

∴为第一或第三象限角． 2

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(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间

相差360°的整数倍．

(2)角的集合的表示形式不是唯一的，如：终边在y轴非正半轴上的角的集合可以表示为?????π3π

?xx＝2kπ－，k∈Z?，也可以表示为?x?x＝2kπ＋，k∈Z?.

22??????

【训练1】 角α与角β的终边互为反向延长线，则( )． A．α＝－β B．α＝180°＋β C．α＝k·360°＋β(k∈Z) D．α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)

解析 对于角α与角β的终边互为反向延长线，则α－β＝k·360°±180°(k∈Z)． ∴α＝k·360°±180°＋β(k∈Z)． 答案 D

考向二 三角函数的定义 2【例2】?已知角θ的终边经过点P(－3，m)(m≠0)且sin θ＝ m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ

4和tan θ的值． [审题视点] 根据三角函数定义求m，再求cos θ和tan θ. m2解 由题意得，r＝3＋m2，∴＝m，∵m≠0， 3＋m24∴m＝±5， 故角θ是第二或第三象限角． 当m＝5时，r＝22，点P的坐标为(－3，5)，角θ是第二象限角， x－36∴cos θ＝＝＝－， r224

y515tan θ＝＝＝－. x－33当m＝－5时，r＝22，点P的坐标为(－3，－5)，角θ是第三象限角． x－36y－515∴cos θ＝＝＝－，tan＝＝＝. r224x－33 任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关．若角α已经

给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的． 【训练2】 (2011·课标全国)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )．

4334A．－ B．－ C. D.

5555

5

解析 取终边上一点(a,2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cos θ＝±，故cos 2θ＝2cos2θ－1

5

3＝－.

5答案 B

考向三 弧度制的应用

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