第八章 空间解析几何与向量代数

高等数学习题集 南通大学数学系

第八章 空间解析几何与向量代数

习题 8-1

1. 设向量a?4i?4j?7k，则a的方向余弦为_______________ 2. 设a?2?1,2,1?,b??1,?1,1?，则2a?5b?5a?7b?_________^????

3. 已知a?1，b?2,(a,b)?4. 设a?2,b??4，则a?b?_______

2，且a?b?2，则a?b?_________

5. 已知点A(1,4,?2),B(5,2,0),C(6,4,?3)，则?ABC的面积等于__________ 6. 设a?0，证明向量p?b?

7. 设a,b是互相垂直的单位向量，求向量p?10a?2b在q?5a?12b方向上的投影。

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a?b|a|2a与a垂直。

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习题8-2

1. 过点(1,2,1)且与两向量s1?i?2j?3k，s2??j?k都平行的平面方程为_________ 2. 点M(1,2,1)到平面x?2y?2z?10?0的距离为_____________

3. 平面19x?4y?8z?21?0和19x?4y?8z?42?0之间的距离等于_________ 4. 若平面x?2y?kz?1与平面y?z?3成

?4角，则k?______

5. 求过原点和P(6,3,2)并与平面5x?4y?3z?0垂直的平面方程。

6. 一平面过点P(1,?1,1)且垂直于两平面?:x?y?z?1?0，?:2x?y?z?1?0，求

12其方程。

?x?y?z?0?x?z?1?07. 证明直线l1:?与l2:?垂直。

y?z?1?0x?y?1?0??

8. 证明直线l:

9. 求过直线

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x?23?y?21?z?3?4在平面?:x?y?z?3?0上。

x?12?y?2?3?z?22，且垂直于平面x?2y?z?5?0的平面方程。

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10. 求过点M(4,?3,1)且与两直线l1:方程。

11. 求直线l:?

12. 求点M(1,?3,2)在平面6x?3y?z?41?0上的投影。

?3x?z??4?3x?2y?24x6?y2?z?3和l2:??x?2y?z?1?0?2z?z?2?0都平行的平面的

的对称式方程，并求与平面?:6x?15y?10z?31?0的夹角

【补充题】

13. 向量a,b,c满足a?b?c?0，且|a|?3,|b|?1,|c|?4，则a?b?b?c?c?a?______

?x?2t?1?14. 求通过直线L1:?y?3t?2与L2?z?2t?3??x?2t?3?:?y?3t?1的平面方程 ?z?2t?1?

15. 已知点P(1,0,?1)Q(3,1,2)，在平面x?2y?z?12上求一点M，使PM?MQ最小

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习题8-3

1. 单项选择题 （1）曲面z?22x?y是 （ ）

A. xOz平面上曲线z?x绕z轴旋转而成的曲面 B. yOz平面上曲线z?y绕z轴旋转而成的曲面 C. xOz平面上曲线z?x绕x轴旋转而成的曲面 D. yOz平面上曲线z?y绕z轴旋转而成的曲面

y2（2）方程x?29?z225??1是（ ）

A. 单叶双曲面 B. 双叶双曲面 C. 椭球面 D. 双曲抛物面

（3）下列说法错误的是（ ） A. x2?y2?z2?1表示双叶双曲线

B. x2?2y2?z2?2xy?2yz?0表示直线x?y?z C. x2?y2?0表示原点

D. x2?z2?4x?4z?4?0表示母线平行于y轴的圆柱面

2. 写出xOy面上的圆?x?a??y2?a2绕x轴旋转一周得到的旋转曲面的方程，并指出是

2什么曲面。

3. 旋转曲面x?y?4z是xOz平面上什么曲线绕什么轴旋转而成的？

4. 试写出曲面

x22229?y225?z被下列平面所截得的截线方程，并指出截线的名称。

（1）x?1 （2）z?1 （3）z??1

?x2?y2?z2?45. 写出曲线?的参数方程及曲线在xOz平面上的投影曲线。

?y?z

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