因式分解最全培优题

八年级数学培优——因式分解

知识介绍：

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法．本讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍（补充分组分解法和十字相乘法等）．

一、提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法：

在整式的乘法中，学过几个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式， （1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ——— a2±2ab+b2=(a±b)2； 下面再补充三个常用的公式：

(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． (5) a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；

练习：（1）(x2?2x)2?2x(x?2)?1 （2）x6?y6

三、分组分解法：

（一）分组后能直接提公因式

例1、分解因式：am?an?bm?bn

分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=(am?an)?(bm?bn)

=a(m?n)?b(m?n) 每组之间还有公因式 =(m?n)(a?b) 例2、分解因式：2ax?10ay?5by?bx

解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；

第三、四项为一组。 第二、三项为一组。

解：原式=(2ax?10ay)?(5by?bx) 原式=(2ax?bx)?(?10ay?5by) =2a(x?5y)?b(x?5y) =x(2a?b)?5y(2a?b) =(x?5y)(2a?b) =(2a?b)(x?5y) 练习： （1）a2?ab?ac?bc （2）xy?x?y?1

（二）分组后能直接运用公式

例3、分解因式：x2?y2?ax?ay

分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。

解：原式=(x2?y2)?(ax?ay) =(x?y)(x?y)?a(x?y) =(x?y)(x?y?a) 例4、分解因式：a2?2ab?b2?c2 解：原式=(a2?2ab?b2)?c2 =(a?b)2?c2

=(a?b?c)(a?b?c)

练习：（1）x2?x?9y2?3y （2）x2?y2?z2?2yz

四、十字相乘法：

（一）二次项系数为1的二次三项式

直接利用公式——x2?(p?q)x?pq?(x?p)(x?q)进行分解。 特点：（1）二次项系数是1；

（2）常数项是两个数的乘积；

（3）一次项系数是常数项的两因数的和。 例5、分解因式：x2?5x?6

分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。

由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中发现只有2×3的分解适合，即2+3=5。1 2

解：x2?5x?6=x2?(2?3)x?2?3 1 3 =(x?2)(x?3) 1×2+1×3=5

关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的和要等于一次项的系数。 练习：（1）x2?14x?24 （2）x2?4x?5

（3）y2?2y?15

（二）二次项系数不为1的二次三项式——ax2?bx?c

条件：（1）a?a1a2 a1 c1

（2）c?c1c2 a2 c2 （3）b?a1c2?a2c1 b?a1c2?a2c1 分解结果：ax2?bx?c=(a1x?c1)(a2x?c2)

例6、分解因式：3x2?11x?10

分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11 解：3x2?11x?10=(x?2)(3x?5)

练习：（1）5x2?7x?6 （2）?6y2?11y?10

（三）二次项系数为1的齐次多项式 例7、分解因式：a2?8ab?128b2

分析：将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b

1 -16b 8b+(-16b)= -8b

解：a2?8ab?128b2=a2?[8b?(?16b)]a?8b?(?16b) =(a?8b)(a?16b)

练习： (1)x2?3xy?2y2 (2)m2?6mn?8n2

（四）二次项系数不为1的齐次多项式

例8、2x2?7xy?6y2 例9、x2y2?3xy?2

1 -2y 把xy看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式=(x?2y)(2x?3y) 解：原式=(xy?1)(xy?2) 练习：（1）15x2?7xy?4y2 （2）a2x2?6ax?8

五、换元法：

例10、分解因式2005x2?(20052?1)x?2005

解：设2005=a，则原式=ax2?(a2?1)x?a =(ax?1)(x?a)

=(2005x?1)(x?2005) 练习： (a2?1)2?(a2?5)2?4(a2?3)2

精选练习：

（1）m2(p?q)?p?q

（2）x3?x2y?xy2?y3

（3）x4?2x3?35x2

（4）12x2?11xy?15y2

（5）(x?y)2?3(x?y)?10

（6）a2?ab?6b2

（7）(a?b)2?4a?4b?3

（8）x2?4xy?4y2?2x?4y?3

（9）12(x?y)2?11(x2?y2)?2(x?y)2 （10）

?x2?4?2?16x2

总结归纳：

因式分解是把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，它和整式乘法互为逆运算，在初中代数中占有重要的地位和作用，学习本讲知识时，应注意以下几点： 1. 因式分解的对象是多项式；

2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；

3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止； 4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式； 5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；

6. 题目中没有指定数的范围，一般指在有理数范围内分解； 7. 因式分解的一般步骤是： 通常采用一“提”、二“公”、三“其他”的步骤。即首先看有无公因式，其次看能否

直接利用公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解、十字相乘等其他方法彻底分解；