[名师精品]高考数学难点突破 - 难点40 - - 探索性问题

难点40 探索性问题

高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.

1.（★★★★）已知三个向量a、b、c，其中每两个之间的夹角为120°，若｜a｜=3, ｜b｜=2,｜c｜=1，则a用b、c表示为 .

2.（★★★★★）假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？

［例1］已知函数f(x)?＞

bx?c1(a,c∈R,a＞0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值，且f(1)

ax2?122. 5（1）求函数f(x)的解析式；

（2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.

命题意图：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题.

错解分析：不能把a与b间的等量关系与不等关系联立求b；忽视b为自然数而导致求不出b的具体值；P、Q两点的坐标关系列不出解.

技巧与方法：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证.

解：（1）∵f(x)是奇函数 ∴f(–x)=–f(x)，即

?bx?cbx?c ??22ax?1ax?1∴–bx+c=–bx–c ∴c=0 ∴f(x)=

bx

ax2?1由a＞0，b是自然数得当x≤0时，f(x)≤0， 当x＞0时，f(x)＞0

∴f(x)的最大值在x＞0时取得. ∴x＞0时，f(x)?1a1x?bbx?21ab2

当且仅当

1

a1 x?bbx即x?1时，f(x)有最大值a12ab2?1 2∴

a=1,∴a=b2 ① 2bb22，∴＞,∴5b＞2a+2 ②

a?1551把①代入②得2b2–5b+2＜0解得＜b＜2

2x又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)=2

x?1又f(1)＞

（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，

?x0?x2?1?y0?0P(x0,y0)则Q（2–x0,–y0)，∴?,消去y0，得x02–2x0–1=0

?2?x0??y02?(2?x)?10?解之，得x0=1±2,

∴P点坐标为(1?2,222)或(1?2,?)进而相应Q点坐标为Q（1?2,?） 444或Q(1?2,2). 4过P、Q的直线l的方程：x–4y–1=0即为所求.

［例2］如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间的距离为

p，A、B为直线a上两定点，2且｜AB｜=2p，MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段.

（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN的外心C的轨迹E；

（2）接上问，当△AMN的外心C在E上什么位置时，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离）.

命题意图：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力.属★★★★★级题目.

知识依托：求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程.

错解分析：①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，②第二问中确定C点位置需要一番分析.

技巧与方法：本题主要运用抛物线的性质，寻求点C所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目.

解：（1）以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系. 设△AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)， 由题意，有｜CA｜=｜CM｜

2

∴x2?(y?p)2?(x?x?p)2?y2,化简，得 x2=2py

它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线. （2）由（1）得，直线C恰为轨迹E的准线. 由抛物线的定义知d=｜CF｜，其中F（0,

p）是抛物线的焦点. 2∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜

由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点 直线BF的方程为y?11x?p联立方程组 421?x?p(1?17)11?4??y?x?p?. 42得???y?9?17p.?x2?2py??16?即C点坐标为(

1?179?17p,p). 41617p. 2此时d+｜BC｜的最小值为｜BF｜=

如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征.

解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法：（1）直接求解；（2）观察——猜测——证明；（3）赋值推断；（4）数形结合；（5）联想类比；（6）特殊——一般——特殊.

一、选择题 1.（★★★★）已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，有下面四个命题，其中正确命题是( ) ①α∥β?l⊥m ②α⊥β?l∥m ③l∥m?α⊥β ④l⊥m?α∥β A.①与② B.①与③ C.②与④ D.③与④

2.（★★★★）某邮局只有0.60元，0.80元，1.10元的三种邮票.现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为7.50元，则最少要购买邮票( )

A.7张 B.8张 C.9张 D.10张 二、填空题

3.(★★★★)观察sin220°+cos250°+sin20°cos50°=·cos45°=

3,sin215°+cos245°+sin15° 43，写出一个与以上两式规律相同的一个等式 . 4底面

三、解答题 4.（★★★★）在四棱锥P—ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，ABCD是矩形，问底面的边BC上是否存在点E.（1）使 ∠PED=90°；（2）使∠PED为锐角.证明你的结论.

3

5.（★★★★★）已知非零复数z1,z2满足｜z1｜=a,｜z2｜=b,｜z1+z2｜=c（a、b、c均大于零），问是否根据上述条件求出

z2？请说明理由. z16.（★★★★★）是否存在都大于2的一对实数a、b(a＞b)使得ab,

b ,a–b,a+b可以按照某一a次序排成一个等比数列，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由.

7.（★★★★★）直线l过抛物线y2=2px(p＞0）的焦点且与抛物线有两个交点，对于抛物线上另外两点A、B直线l能否平分线段AB？试证明你的结论.

8.（★★★★★）三个元件T1、T2、T3正常工作的概率分别为0.7、0.8、0.9，将它们的某两个并联再和第三个串联接入电路，如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发生故障的概率最大？

参 考 答 案

●难点磁场

1.解析：如图–a与b，c的夹角为60°,且|a|=|–a|=3. 由平行四边形关系可得–a=3c+答案：a=–3c–

33b,∴a=–3c–b. 223b 22.解析：飞机成功飞行的概率分别为：4引擎飞机为：

223342224C24P(1?P)?C4P(1?P)?C4P?6P(1?P)?4P(1?P)?P

2引擎飞机为C2?P(1?P)?C2P?2P(1?P)?P. 要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，则有：

6P2（1–P）2+4P2（1–P）+P4≥2P(1–P)+P2,解得P≥即当引擎不出故障的概率不小于

12222. 32时，4引擎飞机比2引擎飞机安全. 3●歼灭难点训练

一、1.解析：①l⊥α且α∥β?l⊥β,m?β?l⊥m. ②α⊥β且l⊥α?l∥β,但不能推出l∥m. ③l∥m,l⊥α?m⊥α,由m?β?α⊥β. ④l⊥m,不能推出α∥β. 答案：B

2.解析：选1.1元5张，0.6元2张，0.8元1张.故8张. 答案：B

二、3.解析：由50°–20°=(45°–15°)=30°

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