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第二章 圆锥曲线与方程单元检测

【满分：150分 时间：120分钟】

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．（2019年内江期中）双曲线3x－y＝9的焦距为( ) A．6 B．26 C．23 D．43 【答案】D [方程化为标准方程为－＝1，

39∴a＝3，b＝9，

∴c＝a＋b＝12，∴c＝23，∴2c＝43.]

2．（2019年红河州期末）抛物线y＝4x的焦点到双曲线x－＝1的渐近线的距离是

3( )

13

A． B． C．1 D．3 22

【答案】B [抛物线y＝4x的焦点为(1,0)，到双曲线x－＝1的渐近线3x－y＝0

3|3×1－1×0|3

的距离为＝，故选B．] 222(3)＋1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x2y2

y2

y2

x2y2

3．（2019年怀化模拟）已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，左、右焦

ab点分别为F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等差数列，则此椭圆的离心率为( )

151

A． B． C． D．5－2 254

c1【答案】A [由题意可得2|F1F2|＝|AF1|＋|F1B|，即4c＝a－c＋a＋c＝2a，故e＝＝.]

a2x2y22

4．（2019年汕头模拟）双曲线－＝1(mn≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线ymn＝4x的焦点重合，则mn的值为( )

33168A． B． C． D． 16833

【答案】A [抛物线的焦点为(1,0)，由题意知

1

m＝2.

1133即m＝，则n＝1－＝，从而mn＝.]

44416

x2y2

5．（2019年厦门模拟）已知F1，F2为椭圆2＋2＝1(a>b>0)的两个焦点，过F2作椭圆的

ab弦AB，若△AF1B的周长为16，椭圆的离心率e＝A．＋＝1

43C．＋＝1 1612

3

，则椭圆的方程是( ) 2

x2y2x2

B．＋＝1 163D．＋＝1 164

x2x2

y2y2

y2

【答案】D [由椭圆的定义知|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝16，∴a＝4.又e＝＝

ca3，∴2

c＝23，∴b＝4－(23)＝4，∴椭圆的方程为＋＝1.]

16

4

6．（2019年福建模拟）过抛物线y＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为( )

A．8 B．16 C．32 D．64

【答案】B [抛物线中2p＝8，p＝4，则焦点坐标为(2,0)，过焦点且倾斜角为45°的

??y＝x－2，直线方程为y＝x－2，由?2

?y＝8x，?

2

222

x2y2

得x－12x＋4＝0，则x1＋x2＝12(x1，x2为直线与抛

2

物线两个交点的横坐标)．从而弦长为x1＋x2＋p＝12＋4＝16.]

x2y2

7．（2019年合肥模拟）已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，3)，

ab且双曲线的一个焦点在抛物线y＝47x的准线上，则双曲线的方程为( )

A．－＝1 2128C．－＝1

34

2

x2y2

B．－＝1 2821D．－＝1

43

x2y2

x2y2x2y2

【答案】D [由双曲线的渐近线y＝x过点(2，3)，可得3＝×2. ① 由双曲线的焦点(－a＋b，0)在抛物线y＝47x的准线x＝－7上，可得a＋b＝7. ② 由①②解得a＝2，b＝3，所以双曲线的方程为－＝1.]

43

8．（2018年濮阳期末）已知定点A(2,0)，它与抛物线y＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为( )

A．y＝2(x－1)

2

2

2

2

2

2

2

babax2y2

B．y＝4(x－1)

2

C．y＝x－1

2

12

D．y＝(x－1)

2

0

x＋2x＝??2，

【答案】D [设P(x，y)，M(x，y)，则?yy＝??2，0

0

0

??x0＝2x－2，

所以?

??y0＝2y，

由于y0＝x0，所以4y＝2x－2， 12

即y＝(x－1)．]

2

3

9．（2019年芜湖模拟）已知θ是△ABC的一个内角，且sin θ＋cos θ＝，则方程

4

22

x2sin θ－y2cos θ＝1表示( )

A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆

37

【答案】D [∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝－.∵θ为△ABC的一个内角，

432112

∴sin θ>0，cos θ<0，∴sin θ>－cos θ>0，∴>>0，∴方程xsin θ－

－cos θsin θ

y2cos θ＝1是焦点在y轴上的椭圆．]

10．（2019年陕西模拟）设圆锥曲线Г的两个焦点分别为F1，F2.若曲线Г上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，则曲线Г的离心率等于( )

13A．或 221

C．或2 2

2

B．或2 323D．或 32

【答案】A [设圆锥曲线的离心率为e，由|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，知①若圆|F1F2|31

锥曲线为椭圆，则由椭圆的定义，得e＝＝＝；②若圆锥曲线为双曲线，|PF1|＋|PF2|4＋22则由双曲线的定义，得e＝

|F1F2|3313

＝＝.综上，所求的离心率为或.故选A．]

|PF1|－|PF2|4－2222

11．（2019年许昌模拟）已知点M(－3,0)，N(3,0)，B(1,0)，动圆C与直线MN相切于点B，过M，N与圆C相切的两直线相交于点P，则点P的轨迹方程为( )

A．x－＝1(x>1)

8

2

y2

B．x－＝1(x<－1)

8C．x＋＝1(x>0)

8D．x－＝1(x>1)

10

【答案】A [设圆与直线PM，PN分别相切于E，F，则|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NB|＝|NF|.∴|PM|－|PN|＝|PE|＋|ME|－(|PF|＋|NF|)＝|MB|－|NB|＝4－2＝2，∴点P的轨迹是以M(－3,0)，N(3,0)为焦点的双曲线的右支，且a＝1，c＝3，∴b＝8.故双曲线的方程是x－＝1(x>1)．]

8

2

2

22

2

y2y2

y2

y2

x2y2322

12．（2019年太原模拟）已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，双曲线x－yab2

＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为( )

A．＋＝1

82C．＋＝1 164

【答案】D [因为椭圆的离心率为

2

2

x2y2x2

B．＋＝1 126D．＋＝1 205

3c323221222

，所以e＝＝，c＝a＝a－b，所以b＝a，2a244

x2x2

y2y2

y2

x2x2x2x25x2

即a＝4b.双曲线的渐近线方程为y＝±x，代入椭圆方程得2＋2＝1，即2＋2＝2＝1，

ab4bb4b42222

所以x＝b，x＝±b.所以y＝±b，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C的交点

55522162?2b，2b?2

坐标为??，所以四边形的面积为4×b×b＝5b＝16，所以b＝5，所以椭

5??555圆C的方程为＋＝1，选D．] 205

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．（2019年青岛模拟）设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段

95

x2y2

x2y2

PF1的中点在y轴上，则

|PF2|

的值为________． |PF1|

5

【答案】 [因为线段PF1的中点在y轴上，所以PF2与x轴垂直，且点P的坐标为

13

?2，±5?，所以|PF|＝5，则|PF|＝2a－|PF|＝13，|PF2|＝5.] ?212

3?33|PF1|13??