2018年江苏省南通市中考数学试卷含答案解析(2)

综上，k=1或3．

27．（13分）如图，正方形ABCD中，AB=2

，O是BC边的中点，点E是正方

形内一动点，OE=2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．

（1）求证：AE=CF；

（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长． （3）求线段OF长的最小值．

【解答】（1）证明：如图1，由旋转得：∠EDF=90°，ED=DF， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC=90°，AD=CD， ∴∠ADC=∠EDF，

即∠ADE+∠EDC=∠EDC+∠CDF， ∴∠ADE=∠CDF， 在△ADE和△DCF中， ∵

，

∴△ADE≌△DCF， ∴AE=CF；

（2）解：如图2，过F作OC的垂线，交BC的延长线于P， ∵O是BC的中点，且AB=BC=2∵A，E，O三点共线， ∴OB=

，

，

由勾股定理得：AO=5， ∵OE=2，

∴AE=5﹣2=3，

由（1）知：△ADE≌△DCF， ∴∠DAE=∠DCF，CF=AE=3， ∵∠BAD=∠DCP， ∴∠OAB=∠PCF， ∵∠ABO=∠P=90°， ∴△ABO∽△CPF， ∴

=

=2，

∴CP=2PF，

设PF=x，则CP=2x，

由勾股定理得：32=x2+（2x）2， x=∴FP=

或﹣

（舍），

+

=

，

=

，

，OP=

由勾股定理得：OF=

（3）解：如图3，由于OE=2，所以E点可以看作是以O为圆心，2为半径的半圆上运动，

延长BA到P点，使得AP=OC，连接PE， ∵AE=CF，∠PAE=∠OCF， ∴△PAE≌△OCF， ∴PE=OF，

当PE最小时，为O、E、P三点共线， OP=

=

﹣2， ﹣2．

=5

，

∴PE=OF=OP﹣OE=5∴OF的最小值是5

28．（13分）【定义】如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线1的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．

【运用】如图2，在平面直坐标系xOy中，已知A（2，两点． （1）C（4，

），D（4，

），E（4，）三点中，点 C 是点A，B关于直

），B（﹣2，﹣

）

线x=4的等角点；

（2）若直线l垂直于x轴，点P（m，n）是点A，B关于直线l的等角点，其中m＞2，∠APB=α，求证：tan

=；

（3）若点P是点A，B关于直线y=ax+b（a≠0）的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围（直接写出结果）．

【解答】解：（1）点B关于直线x=4的对称点为B′（10，﹣∴直线AB′解析式为：y=﹣当x=4时，y=故答案为：C

）

（2）如图，过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P 作BH⊥l于点H

∵点A和A′关于直线l对称 ∴∠APG=∠A′PG ∵∠BPH=∠A′PG ∴∠AGP=∠BPH ∵∠AGP=∠BHP=90° ∴△AGP∽△BHP ∴∴mn=2

，即，即m=

∵∠APB=α，AP=AP′ ∴∠A=∠A′=