高三一轮复习函数的性质[偏难题]含答案及解析

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函数的性质及其应用 教师用

函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。

一、函数与反函数

例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有 6 个． 3 解：从A到B建立映射共有2=8个，其中由2个映射的像集是{4}和{5}，把这2个映射去掉，其它映射的像集都是{4，5}，函数的本质是一个数集到另一个数集的映射，所以，构成以A为定义域，B为值域的不同的函数共有8﹣2=6个，故答案为6． 2（2）、（2012?徐汇区一模）已知函数f（x）=x﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有 9 个． 2 解：∵f（x）=x﹣1，∴f（0）=﹣1，f（±1）=0，f（±）=1 因此，定义域D有：{0，1，}，{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，1，，﹣}， {0，﹣1，，﹣}，{0，﹣1，1，，﹣}共9种情况，故答案为：9 （3）（2013?上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知﹣1﹣1﹣1

定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f（x），且f（[0，1））=[1，2），f（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= 2 ． ﹣1﹣1 解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f（[0，1））=[1，2），f（2，4]）=[0，1）， 所以对于函数f（x），当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案为：2． 二、函数值域及最值求法

例2、（1）（2011?上海）设g（x） 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x） 在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x） 在区间[0，3]上的值域为 [﹣2，7] ． 解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1） 函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]【正好是一个周期区间长度】的值域是[﹣2，5]，令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]，此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x） =[x+g（x）]+1 ，所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[﹣1，6]…（1） 同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3] 技术资料.整理分享

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此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x） =[x+g（x）]+2 所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7]…（2） 由已知条件及（1）（2）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7] 故答案为：[﹣2，7]． （2）（2013?黄浦区二模）已知

，若存在区间[a，b]?（0，+∞），使得

{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是 （0，4） ． 解：∵f（x）=4﹣在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在x∈[a，b]上值域为 [f（a），f（b）]，所以f（a）=ma且f（b）=mb，即4﹣=ma且4﹣=mb， 所以ma﹣4a+1=0且mb﹣4b+1=0，所以mx﹣4x+1=0必须有两个不相等的正根，故222m≠0，∴，解得0＜m＜4． ∴实数m的取值范围是（0，4）．故答案为：（0，4）． （3）．（2012?虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x﹣6x+1，对于任意的都能找到 ，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是 [﹣2，6] ．

22

解：∵函数f（x）=2x+a，g（x）=x﹣6x+1，∴x1∈[﹣1，1]时，f（x）的值域就是[a﹣2，a+2]，要使上述范围内总能找到x2满足 g（x2）=f（x1），即g（x）的值域要包含[a﹣2，a+2]，∵g（x）是一个二次函数，在[﹣1，1]上单调递减， ∴值域为[﹣4，8]，因此三、函数单调性与奇偶性

，解得﹣2≤a≤6．故答案为：[﹣2，6]． 例3、（1）（2013?资阳一模）已知函数

若f（2m+1）＞f（m﹣2），则实数m的取值范围是 （﹣1，3） ． 22 解：∵x≤1时，函数y=﹣x+2x+1=﹣（x﹣1）+2，在（﹣∞，1]上单调递增；x＞132时，函数y=x+1在（1，+∞）上单调递增，又x≤1时，﹣x+2x+1≤2，x＞1时， x+1＞2，∴函数2232

，∴函数在R上单调增， ∴2m+1＞m﹣2，∴m﹣2m﹣3＜0，∴﹣1＜m＜3，故答案为：（﹣1，3） （2）已知 （1，3） ．

是R上的增函数，那么a的取值范围是

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解：∵是R上的增函数， ∴∴a∈（1，3）故答案为：（1，3） （3）（2012?上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）= 3 ． 解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2 ∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，又g（1）=1 ∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3，故答案为3 （4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ﹣3 ． 解：由f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，得f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x﹣1），得f（x）=g（x+1）=﹣g（﹣x﹣1）=﹣f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2），即f（x）=﹣f（x+2），所以f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2012）=f（4×503）=f（0）=g（1）=﹣g（﹣1）=﹣3，f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（﹣1）=g（0）=0，所以f（2012）+f（2013）=﹣3，故答案为：﹣3． 四、函数的周期性 例

4

、

（

1

）

已

知

奇

函

数

满

足

的

为 。 解：

值

（2）设函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x﹣2）=﹣f（x）对一切x∈R都

3

成立，又当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x，则下列四个命题：①函数y=f（x）是以4为周期

3

的周期函数；②当x∈[1，3]时，f（x）=（2﹣x）； ③函数y=f（x）的图象关于x=1对称；④函数y=f（x）的图象关于（2，0）对称．其中正确的命题是 ①②③④ ． 解：∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）， ∵f（x﹣2）=﹣f（x）对一切x∈R都成立，∴f（x﹣4）=f（x），∴函数y=f（x）是以4为周期的周期函数，故①正确．当x∈[1，3]时，x﹣2∈∈[﹣1，1]，f（x﹣2）33=（x﹣2）=﹣f（x），∴f（x）=（2﹣x），故②正确．∵f（x﹣2）=﹣f（x）， ∴f（1+x）=f（1﹣x），∴函数y=f（x）的图象关于x=1对称，故③正确． 3∵当x∈[1，3]时，f（x）=（2﹣x），∴f（2）=0，∵f（x﹣2）=﹣f（x）， ∴f（﹣x﹣2）=﹣f（﹣x）=f（x）=﹣f（x﹣2），∴f（x+2）=﹣f（x﹣2），∴函数 技术资料.整理分享

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y=f（x）的图象关于（2，0）对称．故正确的命题有 ①②③④，故答案选 ①②③④． 2*2（2）若f（n）为n+1（n∈N）的各位数字之和，如 14+1=197，1+9+7=17则f（14）*=17，记f1（n）=f（n），f2（n）=f[f1（n）]，…，fk+1（n）=f[fk（n）]k∈N，则f2010（8）= 8 ． 解：f（=f（8）=64+1=656+5=11，f（=f[f（]=f（11）=121+1=122=1+2+2=5 18）28）18）f3（8）=f[f2（8）]=f（5）=25+1=26=8，f4（8）=f[f3（8）]=f（8） …所以f2010（8）=f3（8）=8，故答案为：8 五、函数图像的对称性

例5、（1）已知函数y?f(2x?1)为偶函数，则函数y?f(2x)图像关于直线 对称，函数y?f(x)图像关于直线 对称。 解：y?f(2x)图像关于直线 x?（2）设

．则

1对称，函数y?f(x)图像关于直线 x?1对称。 2

1006 ． 解：若a+b=1，则f（a）+f（b）== ===1， 所以=[f（）+f（）]+[f（）+f（ ）]+…+[f（）+f（）] =1+1+…+1=1006．故答案为：1006． （3）已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中： ①若f（x﹣2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x=2对称；若f（x+2）=﹣f（x﹣2），则函数f（x）的图象关于原点对称；函数y=f（2+x）与函数y=f（2﹣x）的图象关于直线x=2对称；函数y=f（x﹣2）与函数y=f（2﹣x）的图象关于直线x=2对称．其中正确的命题序号是 ④ ． 解：①不正确．因为f（x﹣2）的图象是由f（x）的图象向右平移两个单位而得到，结合f（x﹣2）是偶函数知，f（x）的图象关于x=﹣2对称， 由f（x+2）=﹣f（x﹣2）变形得f（x+8）=f（x）是周期函数．不能得出函数f（x）的图象关于原点对称，故不正确．不正确，因为函数y=f（2+x）是由f（x）向左平移2个单位，函数y=f（2﹣x）的图象是由f（﹣x）的图象向右平移2个单位，故两函数的图象仍然关于原点对称． 技术资料.整理分享