19版高考数学一轮复习第七章立体几何课时达标45立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离

内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 第45讲 立体几何中的向量方法（二）求空间角和距离

[解密考纲]空间角涉及异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角，距离主要是点到直线的距离或点到平面的距离，这些知识有时在选择题或填空题中考查，有时在解答题立体几何部分的第(2)问或第(3)问考查，难度适中．

一、选择题

1．已知三棱锥S－ABC中，SA，SB，SC两两互相垂直，底面ABC上一点P到三个面SAB，

SAC，SBC的距离分别为2，1，6，则PS的长度为( D )

A．9 C．7

B．5 D．3

解析 由条件可分别以SA，SB，SC为x轴、y轴，z轴建立空间直角坐标系Sxyz，则点

S的坐标为(0,0,0)，点P的坐标为(6，1，2)，由两点之间的距离公式可得PS＝6＋1＋2

＝3.

2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于( C )

A．30° C．60°

B．45° D．90°

解析 不妨设AB＝AC＝AA1＝1，建立空间直角坐标系如图所示，则B(0，－1,0)，

A1(0,0,1)，A(0,0,0)，C1(－1,0,1)，

→→

所以BA1＝(0,1,1)，AC1＝(－1,0,1)， 所以cos〈BA1，AC1〉＝

→

→

11＝＝，

→→2×22|BA1|·|AC1|

BA1·AC1

→→

→→

所以〈BA1，AC1〉＝60°，所以异面直线BA1与AC1所成的角等于60°.

3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为( B )

1

A． 2

2

B． 3

1

C．3

3

D．

2 2

解析 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0,0,1)，

E?1，0，?，D(0,1,0)，所以A1D＝(0,1，－1)，A1E＝?1，0，－?.

22

?

?

1?→→

?

??

1??

y－z＝0，??

设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则?1

1－z＝0，??2

??y＝2，

所以?

?z＝2.?

所以

n1＝(1,2,2)．因为平面ABCD的一个法向量为n2＝(0,0,1)，所以cos〈n1，n2〉＝

2

即所成的锐二面角的余弦值为. 3

22＝，3×13

4．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则( B ) A．l∥α C．l?α

解析 ∵u＝－2a，∴u∥a，则l⊥α.

95．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为3的正三角形．若

4

B．l⊥α D．l与α斜交

P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为( B )

5π

A．

12π

C．

4

π

B．

3πD．

6

9

解析 如图所示，由棱柱的体积为，底面正三角形的边长为3，可求得棱柱的高为3.

4设P在平面ABC上射影为O，则可求得AO长为1，故AP的长为1＋ππ＝，即PA与平面ABC所成的角为. 33

2

3

2

＝2.故∠PAO

2

6．已知三棱锥S－ABC中，底面ABC是边长等于2的等边三角形，SA⊥底面ABC，SA＝3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为( D )

A．C．3

47

4

B．

5

4

3D． 4

解析 如图所示，过点A作AD⊥BC于点D，连接SD；作AG⊥SD于点G，连接GB．

∵SA⊥底面ABC，△ABC为等边三角形， ∴BC⊥SA，BC⊥AD．∴BC⊥平面SAD． 又AG?平面SAD，∴AG⊥BC． 又AG⊥SD，∴AG⊥平面SBC．

∴∠ABG即为直线AB与平面SBC所成的角． ∵AB＝2，SA＝3，∴AD＝3，SD＝23. 在Rt△SAD中，AG＝

SA·AD3

＝， SD2

3

AG23

∴sin∠ABG＝＝＝.

AB24二、填空题

7．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，点D在棱BB1上，若BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为__15__. 5

解析 如图，设AD与平面AA1C1C所成的角为α，E为AC的中点，连接BE，则BE⊥AC，3333→→→→→→→

所以BE⊥平面AA1C1C，可得AD·EB＝(AB＋BD)·EB＝AB·EB＝1××＝＝2×

22426→→

×cos θ(θ为AD与EB的夹角)，所以cos θ＝＝sin α，所以所求角的正切值为tan α

4

3

cos θ15＝＝. sin θ5

8．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1

与直线AB1夹角的余弦值为__5__. 5

解析 不妨令CB＝1，则CA＝CC1＝2，可得O(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，A(2,0,0)，

B1(0,2,1)，

→→

所以BC1＝(0,2，－1)，AB1＝(－2,2,1)， 所以cos〈BC1，AB1〉＝

→

→

4－115＝＝＝>0.

→→5×955|BC1||AB1|

BC1·AB1

→→

→→

所以BC1与AB1的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角， 所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为

5. 5

9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E35的距离为____. 10解析 以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．

1??1??则A1(0,0,1)，E?1，0，?，F?，1，0?，D1(0,1,1)． 2??2??1?→→?

∴A1E＝?1，0，－?，A1D1＝(0,1,0)．

2??设平面A1D1E的一个法向量为n＝(x，y，z)， →??n·A1E＝0，

则?

→??n·A1D1＝0，

1??x－z＝0，

即?2??y＝0.

令z＝2，则x＝1.

4