2017-2018学年第二学期江苏省扬州中学期中考试高一数学试卷（附答案）

所以tanA??tan?B?C??tanB?tanC??2?1．

tanBtanC?1?1?113.1009π【解析】因为?n?0，π，所以an?cos?n?3sin?n?2sin?n?π??1，2?，

626 所以等比数列{an}的公比q?0．

若q?1，由a1?2知，当n充分大，则an?2，矛盾； 若0?q?1，由a1?2知，当n充分大，则an?1，矛盾， 所以q?1，从而an?a1?2，所以?n?π．

12则数列{?n}的前2 018项之和是1009π．

614.?≤?43【解析】由条件，???sinA?sinB．因为a?b?2c，所以sinA?sinB?2sinC，

sinAsinB32(a?b)2sinA?sinBsinA?sinBsinA?sinB2c所以． ?1，所以????????2sinCsinAsinB2sinC2absinCabsinC????2(a?b)2?2ab?c23c2?2ab3c2而cosC????1，所以c?2(1?cosC)．

ab32ab2ab2ab由a?b?2c，得cosC≥1，即0?C≤π，所以???4?1?cosC≤?43．

233sinC3

二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 解(1)因为???122??? ,??，且sin??,所以cos???33?2?所以sin2??2sin?cos??2?1?22?42??????

??3?3?9(2)因为???????????3??,??，???0,?,所以?????,?, ?2??2??22?4 52所以cos???????1?sin(???)??所以sin??sin?(???)????sin(???)cos??cos(???)sin?

22??4?162?4?3???? ???5????3????5??3?15??????

116.（1）4；（2）9。

?x?y?得:xy?1解(1)由xy??? 4 2??1“=” 时取21所以xy的最大值是.

4当且仅当x?y?（2）

2?14?14y4xy4x???(x?y)???5???5?2??9 ??xyxyxy?xy?y4x12即x?,y?时取“=” ?33xy当且仅当

所以

14?的最小值是9. xy(1)?ABC中，因为17.

csinA?sinBca?b??，所以， b?asinA?sinCb?aa?c所以ac?c2?b2?a2， 所以c2?a2?b2??ac

c2?a2?b2ac1????， 所以cosB?2ac2ac2所以B?2?. 3(2)由正弦定理得：c?2a， 又23?S?ABC?13acsinB?ac，得ac?8，所以2a2?8，所以a?2,c?4 241?28 2222又由余弦定理：b?a?c?2accosB?4?16?2?2?4?所以b?27 18.

解：（Ⅰ）设?an?的公差为d（d?0），

由S3?15有3a1?3?2d?15，化简得a1?d?5，① 222又?a1,a4,a13成等比数列，?a4?a1a13即?a1?3d??a1?a1?12d?，

化简得3d?2a1②

联立①②解得a1?3,d?2，

?an?3?2(n?1)?2n?1．

?111?11??????

anan?1(2n?1)(2n?3)2?2n?12n?3?1??11??11?1??n?1 ????????????????2??35??57??2n?12n?3??3(2n?3)n?Tn?n?3??3?（2）将Tn?代入3t?Tn?n???整理得t????(2n?3)

3(2n?3)?4??4?n?3??3?令f(n)????(2n?3)，则f(n?1)?f(n)????4??4?1?3????(3?2n) 4?4?nnn?1?3?(2n?5)???(2n?3)

?4?n所以当n?1时f(n?1)?f(n)?0；当n?2时f(n?1)?f(n)?0。 即f(1)?f(2)?f(3)?f(4)??

15243?f(3)? 46415243?t?所以 464又f(4)?f(1)? 19.

解：设综合体M、N的面积分别为S1、S2，点P到M、N的距离分别为d1、d2，

S1S2则S2＝tS1，n1＝λ2，n2＝λ2，λ为常数，λ＞0．

d1 d2

（1）在△PMN中，MN＝10，PM＝15，∠PMN＝60o，

1

由余弦定理，得d22＝PN2＝MN2＋PM2－2MN·PMcos60°＝102＋152－2×10×15×＝175．

2又d12＝PM2＝225，

StS1tS1S2

此时，n1－n2＝λ2－λ2＝??12??1??S(?)， 1222 d1 d2

d1d2d1d2将t＝

111

，d12＝225，d22＝175代入，得n1－n2＝kS1(－)．

2253525因为λS1＞0，所以n1＞n2，即居住在P点处的居民不在综合体N相对于M的“更强吸引区域”内．

（2）要使与综合体N相距3km以内的区域(含边界)均为综合体N相对于M的“更强吸引区域”，则当d2≤3时，不等式n1＜n2恒成立．

d2tSS1S22

由n1＜n2，得λ2＜λ2＝?1，化简得d＞． 12 d1 d2

td22设∠PNM＝θ，

则d12＝PM2＝MN2＋PN2－2MN·PNcosθ＝100＋d22－20d2cosθ，

d22100?d2?d222t?cos?． 所以100＋d2－20d2cosθ＞，即

20d2t2d22100?d2?t?cos?＞1， 上式对于任意的θ∈[0，π]恒成立，则

20d2211111

即1－＞20·－100·()2＝－100(－)2＋1 (*)．

d2d2d210t401111由于d2≤3，所以≥．当＝时，不等式(*)右端的最大值为－，

d23d239409，解得t＞． 9499又0＜t＜1，所以t的取值范围是(，1)．

49所以1－＞－

20.（1）解：因为bn(2)－bn(1)＝2，

所以(an＋an＋2)－(an＋an＋1)＝1，即an＋2－an＋1＝2， 因此数列{an＋1}是公差为1的等差数列，

所以bn(5)－bn(2)＝(an＋an＋5)－(an＋an＋2) ＝an＋5－an＋2＝6． （2）（i）解：因为bn＋1(k)＝3bn(k)，所以an＋1＋an＋1＋k＝3(an＋an＋k)，

1t??an?1?an?2?3(an?an?1) 分别令k＝1及k＝2，得???an?1?an?3?3(an?an?2) 由①得an＋2＋an＋3＝3(an＋1＋an＋2)， ③ ③－②得an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)， ④ ①－④得2an＋1＝6an，即an＋1＝3an， 又a1＝3，所以an＝3n．

（ii）证明：假设集合A与集合B中含有相同的元素，

不妨设bn(k)＝10bm(k＋2)，n，m∈N*， 即an＋an＋k＝10(am＋am＋k＋2)，

①②

于是3n＋3nk＝10(3m＋3m

＋

＋k＋2

)，

整理得3

n－m

10（1+9?3k)＝

1?3k10（1+9?3k)8n－m

10(9?)因为＝∈[70，90)，即3∈[70，90)， kk3?11?310（1+9?3k)因为n，m∈N*，从而n－m＝4， 所以＝81，即9×3k＝71． k1?3 由于k为正整数，所以上式不成立，

因此集合A与集合B中不含有相同的元素，即A∩B＝?．