精选江苏专用2018版高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.1空间几何体的结构及其表面积体积教师用

的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数为________. 答案 10

解析 如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条).

3.用平面α截球O所得截面圆的半径为3，球心O到平面α的距离为4，则此球的表面积为________. 答案 100π

解析 依题意，设球半径为R，满足R＝3＋4＝25， ∴S球＝4πR＝100π.

4.(2016·镇江模拟)若直观图为如图所示的直角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则原图形的面积为________.

2

2

2

2

答案 2＋

2

2

解析 如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°， ∴BE＝

2

.而四边形AECD为矩形，AD＝1， 2

∴EC＝AD＝1. ∴BC＝BE＋EC＝

2

＋1. 2

由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形.

在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝

2

＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，2

11?22?

∴原图形的面积为S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝×?1＋1＋?×2＝2＋. 22?22?5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，以顶点A为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和为________.

5

答案 π

6

解析 由题意，图中弧EF为过球心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，因为∠A1AE＝ππππ

∠BAF＝，所以∠EAF＝，由弧长公式知弧EF的长为2×＝.弧FG为不过球心的平

6663面与球面相交所得小圆的一段弧，其圆心为B，因为球心到平面BCC1B1的距离d＝3，球的πππ22

半径R＝2，所以小圆的半径r＝R－d＝1，又∠GBF＝，所以弧FG的长为1×＝.2225π

故两段弧长之和为.

6

6.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB＝AC，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则侧面ABB1A1的面积为________.

答案

2

解析 由题意知，球心在正方形的中心上，球的半径为1，则正方形的边长为2.∵ABC—A1B1C1为直三棱柱，∴平面ABC⊥平面BCC1B1，∴BC为截面圆的直径，∴∠BAC＝90°.∵AB＝AC，∴AB＝1.∴侧面ABB1A1的面积为2×1＝2.

7.已知四面体ABCD满足AB＝CD＝6，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________. 答案 7π

解析 (图略)在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连结AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝6，∴AE＝1010

.同理BE＝.取AB的中点为F，22

1610

连结EF.由AE＝BE，得EF⊥AB.在Rt△EFA中，∵AF＝AB＝，AE＝，∴EF＝1.取EF22217

的中点为O，连结OA，则OF＝.在Rt△OFA中，OA＝.同理得OA＝OB＝OC＝OD，∴该四面

22体的外接球的半径是

7

，∴外接球的表面积是7π. 2

8. 如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO＝OB＝1.则三棱锥P－ABC体积的最大值为________.

1答案 3

1

解析 VP－ABC＝PO·S△ABC，当△ABC的面积最大时，三棱锥P－ABC体积达到最大值.当CO⊥AB3111

时，△ABC的面积最大，最大值为×2×1＝1，此时VP－ABC＝PO·S△ABC＝. 233

9.(2016·徐州、连云港、宿迁联考)如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面AB1C1，

AA1＝1，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱柱的体积为________.

答案

2

解析 因为AA1⊥平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，所以AA1⊥AB1，又知AA1＝1，A1B1＝2，所以AB1＝2－1＝3，同理可得AC1＝3，又知在△AB1C1中，B1C1＝2，所以△AB1C1的B1C1上的高1

为h＝3－1＝2，其面积S?AB1C1＝×2×2＝2，于是三棱锥A—A1B1C1的体积

2

2

2

12V三棱锥A—A1B1C1?V三棱锥A1—AB1C1=?S?AB1C1?AA1?,进而可得此三棱柱ABC—A1B1C1的体积

33V?3V三棱锥A—A1B1C1=3?2?2. 310.(2016·盐城一模)一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为________.

答案

9 32

解析 设等边三角形的边长为2a，球O的半径为R， 1323

则V圆锥＝·πa·3a＝πa.

3323222

又R＝a＋(3a－R)，所以R＝a，

34π233323π3

故V球＝·(a)＝a，

33279

则其体积比为. 32

11.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：

(1)该几何体的体积； (2)截面ABC的面积.

解 (1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于A2，B2.

由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，则V?VA1B1C1?A2B2C?VC?ABB2A2 111

＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6. 232(2)在△ABC中，

AB＝22＋BC＝22＋AC＝2

－－

2

2

＝5， ＝5， －

2

2

＋＝23.