2020届数学(理)高考二轮专题复习与测试：每日一题 规范练(第三周) Word版含解析

每日一题 规范练(第三周)

星期一 2020年4月6日

[题目1] 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，3

c.已知cos 2C＝－.

4

(1)求sin C；

(2)当c＝2a，且b＝32时，求a.

332

解：(1)因为cos 2 C＝－，即1－2sin C＝－.

44π

又0＜C＜，

2所以sin C＝

714＝. 84

14

(2)由(1)知sin C＝，且△ABC是锐角三角形，

4所以cos C＝1－sin2 C＝

2. 4

ac

因为c＝2a，＝，

sin Asin C

11452

所以sin A＝sin C＝，cos A＝. 288

所以sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝37

. 8

ab因为＝，b＝32，

sin Asin B所以a＝2.

星期二 2020年4月7日

[题目2] 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比q＞1，且a2＋1为a1，a3的等差中项，S3＝14.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)记bn＝an· log2an，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由题意，得2(a2＋1)＝a1＋a3. 又S3＝a1＋a2＋a3＝14，

所以2(a2＋1)＝14－a2，所以a2＝4. 4

因为S3＝＋4＋4q＝14，

q1

所以q＝2或q＝.

2又q＞1，所以公比q＝2. 因此an＝a2qn－2＝4·2n－2＝2n. (2)由(1)知an＝2n， 所以bn＝an·log2an＝n·2n，

所以Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n. 所以2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1. 两式相减得－Tn＝2＋22＋23＋24＋…＋2n－n×2n＋1＝ 2（1－2n）

－n×2n＋1＝(1－n)2n＋1－2.

1－2故Tn＝(n－1)2n＋1＋2.

星期三 2020年4月8日

[题目3] 如图，在三棱柱ABC-DEF中，AE与BD相交于点O，C在平面ABED内的射影为O，G为CF的中点．

(1)求证：平面ABED⊥平面GED；

(2)若AB＝BD＝BE＝EF＝2，求二面角A-CE-B的余弦值． (1)证明：取DE中点M，连接OM，在三角形BDE中， 1

OM∥BE，OM＝BE.

2

又因为G为CF中点， 1

所以CG∥BE，CG＝BE.

2所以CG∥OM，CG＝OM.

所以四边形OMGC为平行四边形． 所以GM∥CO.

因为C在平面ABED内的射影为O. 所以CO⊥平面ABED. 所以GM⊥平面ABED， 又因为GM?平面DEG， 所以平面ABED⊥平面GED. (2)解：因为CO⊥平面ABED， 所以CO⊥AO，CO⊥OB，

又因为AB＝BE，所以四边形ABED为菱形，

所以OB⊥AO.

→→→

以O为坐标原点，OA，OB，OC的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

于是A(3，0，0)，B(0，1，0)， E(－3，0，0)，C(0，0，3)，

→→

BE＝(－3，－1，0)，BC＝(0，－1，3)． 设平面BCE的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)， →??m·BE＝0，??－3x1－y1＝0，

即? ??→?－y1＋3z1＝0.??m·BC＝0，

不妨令z1＝1，则y1＝3，x1＝－1，则m＝(－1，3，1)． 又n＝(0，1，0)为平面ACE的一个法向量． 设二面角ACEB大小为θ，显然θ为锐角， 于是cos θ＝|cos 〈m，n〉|＝

|m·n|315

＝＝， |m|·|n|55

15

故二面角A-CE-B的余弦值为. 5

星期四 2020年4月9日

[题目4] (2019·河南八市联盟“领军考试”)某商家对他所经销的一种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下表：

日销售量 1 1.5 2