第二章课后习题答案

将式(2)代入式(1),并整理得

?μmg??k1?μk2?v2?m分离变量并积分,有

dvdv?mv dtdx?得飞机滑行距离

vv0?mvdv??dx 2?0μmg??k1?μk2?v?μmg??k1?μk2?v2?mx?ln? (3)

2?k1?μk2??μmg??考虑飞机着陆瞬间有FN＝0 和v＝v0 ,应有k2v02 ＝mg,将其代入(3)式,可得飞机滑行距离x 的另一表达式

2?k1?k2v0?x?ln?? 2g?k1?μk2??μk?2?讨论 如飞机着陆速度v0＝144 km·h-1 ,μ＝0.1,升阻比

k1

?5,可算得飞k2

机的滑行距离x ＝560 m,设计飞机跑道长度时应参照上述计算结果．

2 -24 在卡车车厢底板上放一木箱,该木箱距车箱前沿挡板的距离L ＝2.0 m,已知刹车时卡车的加速度a ＝7.0 m·ｓ-2 ,设刹车一开始木箱就开始滑动．求该木箱撞上挡板时相对卡车的速率为多大？设木箱与底板间滑动摩擦因数μ＝0.50．

分析 如同习题2 -5 分析中指出的那样,可对木箱加上惯性力F0 后,以车厢为参考系进行求解,如图所示,此时木箱在水平方向受到惯性力和摩擦力作用,图中a′为木箱相对车厢的加速度．

解 由牛顿第二定律和相关运动学规律有

F0 -Fｆ＝ma -μmg＝ma′ (1) v′ 2 ＝2a′L (2)

联立解(1)(2)两式并代入题给数据,得木箱撞上车厢挡板时的速度为

v??2?a?μg?L?2.9m?s?2

*2 -25 如图(a)所示,电梯相对地面以加速度a 竖直向上运动．电梯中有一滑轮固定在电梯顶部,滑轮两侧用轻绳悬挂着质量分别为m1 和m2 的物体A和B．设滑轮的质量和滑轮与绳索间的摩擦均略去不计．已知m1 ＞m2 ,如以加速运动的电梯为参考系,求物体相对地面的加速度和绳的张力．

分析 如以加速运动的电梯为参考系,则为非惯性系．在非惯性系中应用牛顿定律时必须引入惯性力．在通常受力分析的基础上,加以惯性力后,即可列出牛顿运动方程来．

解 取如图(b)所示的坐标,以电梯为参考系,分别对物体A、B 作受力分析,其中F1 ＝m1a,F2 ＝m2a 分别为作用在物体A、B 上的惯性力．设ar为物体相对电梯的加速度,根据牛顿定律有

m1g?m1a?FT1?m1ar (1)

m2g?m2a?FT2??m2ar (2)

FT2?FT2 (3)

由上述各式可得

ar?m1?m2?g?a?

m1?m22m1m2?g?a?

m1?m2FT2?FT2?由相对加速度的矢量关系,可得物体A、B 对地面的加速度值为

a1?ar?a??m1?m2?g?2m2a

m1?m22m1a??m1?m2?g

m1?m2a2???ar?a???a2 的方向向上, a1 的方向由ar 和a 的大小决定．当ar ＜a,即m1g -m2g -2m2 a＞0 时,a1 的方向向下；反之, a1 的方向向上．

*2 -26 如图(a)所示,在光滑水平面上,放一质量为m′的三棱柱A,它的斜面的倾角为α．现把一质量为m 的滑块B 放在三棱柱的光滑斜面上．试求：(1)三棱柱相对于地面的加速度；(2) 滑块相对于地面的加速度；(3) 滑块与三棱柱之间的正压力．

分析 这类问题可应用牛顿定律并采用隔离体法求解．在解题的过程中必须注意：

(1) 参考系的选择．由于牛顿定律只适用于惯性系,可选择地面为参考系(惯性系)．因地面和斜面都是光滑的,当滑块在斜面上下滑时,三棱柱受到滑块对它的作用,也将沿地面作加速度为aA 的运动,这时,滑块沿斜面的加速度aBA ,不再是它相对于地面的加速度aB 了．必须注意到它们之间应满足相对加速度的矢量关系,即aB ＝aA ＋aBA ．若以斜面为参考系(非惯性系),用它求解这类含有相对运动的力学问题是较为方便的．但在非惯性系中,若仍要应用牛顿定律,则必须增添一惯性力F,且有F ＝maA ．

(2) 坐标系的选择．常取平面直角坐标,并使其中一坐标轴方向与运动方向一致,这样,可使解题简化．

(3) 在分析滑块与三棱柱之间的正压力时,要考虑运动状态的影响,切勿简单地把它视为滑块重力在垂直于斜面方向的分力mgcos α,事实上只有当aA ＝0 时,正压力才等于mgcos α．

解1 取地面为参考系,以滑块B 和三棱柱A 为研究对象,分别作示力图,如图(b)所示．B 受重力P1 、A 施加的支持力FN1 ；A 受重力P2 、B 施加的压力FN1′、地面支持力FN2 ．A 的运动方向为Ox 轴的正向,Oy 轴的正向垂直地面向上．设aA 为A 对地的加速度,aB 为B 对的地加速度．由牛顿定律得

?FN1sinα?m?aA (1)