第二章课后习题答案

根据始末条件对上式积分,有

?t0dt??m?vv0vdv

mg?kvt?m?kv0??ln?1???6.11s k?mg??(2) 利用

dvdv?v的关系代入式(1),可得 dtdy?mg?kv?mv分离变量后积分

dv dy?y0dy???v00mvdv

mg?kv?m?mg?kv0??故 y???ln?1???v0??183m k?k?mg???讨论 如不考虑空气阻力,则物体向上作匀减速运动．由公式t?

2v0

和g

vy?0分别算得t≈6.12ｓ和y≈184 m,均比实际值略大一些．

2g2 -21 一物体自地球表面以速率v0 竖直上抛．假定空气对物体阻力的值为Fr ＝kmv2 ,其中m 为物体的质量,k 为常量．试求：(1) 该物体能上升的高度；(2)物体返回地面时速度的值．(设重力加速度为常量．)

分析 由于空气对物体的阻力始终与物体运动的方向相反,因此,物体在上抛过程中所受重力P 和阻力Fr 的方向相同；而下落过程中,所受重力P 和阻力Fr 的方向则相反．又因阻力是变力,在解动力学方程时,需用积分的方法．

解 分别对物体上抛、下落时作受力分析,以地面为原点,竖直向上为y 轴(如图所示)．(1) 物体在上抛过程中,根据牛顿定律有

?mg?kmv2?m依据初始条件对上式积分,有

dvvdv?m dtdy?y0dy???0v0vdv 2g?kv1?g?kv2?? y??ln?2?2k?g?kv0??物体到达最高处时, v ＝0,故有

2?1?g?kv0?h?ymax?ln? ??2k?g?(2) 物体下落过程中,有

?mg?kmv2?mvdv dy对上式积分,有

?y0dy???0v0vdv

g?kv2?1/2?kv2?则 v?v0??1?g????

2 -22 质量为m 的摩托车,在恒定的牵引力F的作用下工作,它所受的阻力与其速率的平方成正比,它能达到的最大速率是vm ．试计算从静止加速到vm/2所需的时间以及所走过的路程．

分析 该题依然是运用动力学方程求解变力作用下的速度和位置的问题,求解方法与前两题相似,只是在解题过程中必须设法求出阻力系数k．由于阻力Fr ＝kv2 ,且Fr又与恒力F 的方向相反；故当阻力随速度增加至与恒力大小相等时,加速度为零,此时速度达到最大．因此,根据速度最大值可求出阻力系数来．但在求摩托车所走路程时,需对变量作变换．

解 设摩托车沿x 轴正方向运动,在牵引力F和阻力Fr 同时作用下,由牛顿定律有

F?kv2?mdv (1) dt当加速度a ＝dv/dt ＝0 时,摩托车的速率最大,因此可得

k＝F/vm2 (2)

由式(1)和式(2)可得

?v2?dv?F?1??m (3) ?v2?dtm??根据始末条件对式(3)积分,有

?1?t0dt?mF?1vm20?v2???1?v2??dv

m??则 t?又因式(3)中mmvmln3 2Fdvmvdv?,再利用始末条件对式(3)积分,有 dtdx1m2vm?v2??0dx?F?0??1?v2??dv

m??x22mvm4mvmln?0.144则 x? 2F3F?1*2 -23 飞机降落时,以v0 的水平速度着落后自由滑行,滑行期间飞机受到的空气阻力F1＝-k1 v2 ,升力F2＝k2 v2 ,其中v为飞机的滑行速度,两个系数之比k1/ k2 称为飞机的升阻比．实验表明,物体在流体中运动时,所受阻力与速度的关系与多种因素有关,如速度大小、流体性质、物体形状等．在速度较小或流体密度较小时有F∝v,而在速度较大或流体密度较大的有F∝v2 ,需要精确计算时则应由实验测定．本题中由于飞机速率较大,故取F∝v2 作为计算依据．设飞机与跑道间的滑动摩擦因数为μ,试求飞机从触地到静止所滑行的距离．以上计算实际上已成为飞机跑道长度设计的依据之一．

分析 如图所示,飞机触地后滑行期间受到5 个力作用,其中F1为空气阻

力, F2 为空气升力, F3 为跑道作用于飞机的摩擦力,很显然飞机是在合外力为变力的情况下作减速运动,列出牛顿第二定律方程后,用运动学第二类问题的相关规律解题．由于作用于飞机的合外力为速度v的函数,所求的又是飞机滑行距离x,因此比较简便方法是直接对牛顿第二定律方程中的积分变量dt 进行代换,将dt 用

dx代替,得到一个有关v 和x 的微分方程,分离变量后再v作积分．

解 取飞机滑行方向为x 的正方向,着陆点为坐标原点,如图所示,根据牛顿第二定律有

FN?k1v?mdv (1) dtFN?k2v2?mg?0 (2)

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