《数学学科发展前沿专》专题讲座

。

例2设

两两不同。则n+1个数

中至少有一个不小于，其中。

证明：由拉格朗日插值公式知上式

的系数可得，

。

=比较

则，或

。

例3 已知解：由于

令

分别为-1,1,2。 由拉格朗日插值公式得

，使得是偶函数，

。求的

取值范围。

=

例4 分解因式

。

解：所以

且则=设

在上题中设

，且

，且

。

。则上式等于

。

则所以原式=

。

例5已知

，

C，

求证：

证明：由插值公式

。

且

C。

比较两端系数有故结论成立 例6 设对于满足

是复平面上的n个互异的点，是该平面上的任意的m个点

的正整数

有不等式

。则

证明：设

对应数为

，

对应数为

。

由拉格朗日插值公式有

比较两端注意到

的系数得

，

，从而

。

第四章 拓扑学发展史及研究对象

一、拓扑学发展史以及代数拓扑学

1．拓扑学发展史简介

拓扑学是19世纪发展起来的一个重要的现代数学分支。欧拉或更早的时代已有拓扑学的萌芽。如欧拉曾在1736年考虑过的“哥尼斯堡七桥问题”以及以他的名字命名的“欧拉多面体公式”都是拓扑学问题。拓扑学（Topology）最早论著是高斯的学生德国数学家J.B.Listing 的《拓扑学初步》。拓扑学分为三支，一是点集拓扑或（一般拓扑学），以德国数学家G.Cantor的贡献为起点，这是我们已经学习过的课程。另一个是19世纪末由法国数学家庞加莱（H.Poincare）开创的代数拓扑学（或组合拓扑学）。还有一个是20世纪中叶由美国数学家H.Whitney、法国数学家R.Thom以及美国数学家J.Milnor共同创立的微分拓扑学。

2．代数拓扑学的主要研究对象以及基本的研究方法简介

代数拓扑学是用代数的方法去研究具有拓扑结构的集合及其在拓扑变化下不变性质的拓扑学分支，主要由同伦论和同调论构成。

平面上两个同心圆周H与 K围成的图形叫做平环，其中K是平环的外边界圆，H是平环的内边界圆。设平环内有三条封闭曲线点的平环上的圆，

，

与

，其中

和

是可以连续收缩为一

是包含H的平环上的圆。三个曲线积分

。其中

是

类函数满足方程

。积分路线均沿逆时针方向，则由Green定理：

此，就积分而言

可忽略，而曲线

与

。因

则起着同等的作用。即积分对曲线的连续形变

的不变性。从而给定空间赋予数值不变量。通过曲线形变为另一个曲线，界定一较大空间之间的不同。导致引进同伦和基本群。

又如，球面

和环面

可以通过曲线界定一较大空间之间的不同导致同调论。

代数拓扑学的研究方法是拓扑空间联系上适当的代数结构，从而由空间的不同代数结构可以推断空间的非同胚。

设1）2）

是非空集合，

；

；

。若下面三个条件满足时称

是

的拓扑。

3）此时，称

。

为拓扑空间，简记为

。

3．映射的同伦与空间的同伦形 设

是拓扑空间，且

，使得称为从

到

的同伦。记为

或

。

， 或

如果存在联系映射那么称

和 。

例3 设C是欧氏空间内的凸集：

是同伦的。其中的

。并设

。 解 取映射定义 若命题 空间

，并且

是常值映射，则称

即可。 是零伦的，并记为

。

，则

中的映射的同伦关系是等价关系。

基本群及许多代数结构不仅是拓扑不变量而且是更广泛一类映射下的不变量，即同伦型不变量。