《数学学科发展前沿专》专题讲座

定义 设则称扑空间

是从拓扑空间到拓扑空间

，若存在到拓扑空间

，使得

的同伦等价，称

是

，并且。

的同伦逆。此时亦称拓

的同伦等价。

命题 同伦等价关系是拓扑空间之间的等价关系。

同伦等价映射下保持不变的性质、不变的数或代数结构成为同伦型不变性质、不变量。

因此拓扑空间也可以按同伦型进行分类。显然，两个同胚空间有相同的同伦型。

例4 欧氏空间的凸集合与独点集合具有相同的同伦型。 例5

.

定义 与独点空间具有相同同伦型的空间称为可缩空间。 定义 设到

的保核收缩映射，

是内射。若存在称为的收缩核。

是保核收缩映射。

，使得

，则称是

例6 映射

例7 3维欧氏空间的2维锥面是可缩的。 例8 欧氏空间的凸集合是可缩的。 定理 设

是非空拓扑空间，则下列结果等价。

是可缩的；

(1) 拓扑空间(2)

；

及及

； 。

。若对于任意的，

。记为

和任意的

，rel

.

(3) 对任意的拓扑空间(4) 对任意的拓扑空间定义 设

，且

，则称性对于集合

第五章 基本群

一、拓扑学发展史以及代数拓扑学 1.道路连通拓扑空间的道路的乘积 定义 如果映射道路。分别称点

和点

为道路

满足

（

），则称

是连接点

和点

的

的起点和终点。

中的道路连接，则称

为道路连通。

如果拓扑空间中任意两点都有

定义 设分别是连接点和点以及连接点和点的道路，即满足：

，

，则可以定义新的道路

即，道路

是以点

为起点以点

为终点的道路。我们称道路

为

两道路和的乘积，简记为。

这种道路的乘积当作一种代数运算，看能否向我们提供拓扑空间几何性质的某种信息。事实上道路的乘积有两个缺陷：1）第一

条道路的终点与第二条道路的起点不同时，不能有这种运算；2）对于满足

的三条道路。 ，

合律。

注意 “道路”并非指参数从到1时所得的轨迹，而是指映射本身。 考虑到道路的乘积牵涉到起点和终点，因此放宽条件用rel 定义 设称

和

是两个道路，使得

的同伦类来代替道路。

rel

，那么

与

一般是不等的，即道路的乘积不满足结

。如果

是等价的道路，记为

。显然，两道路的这种关系是等价关系。仍用

表示

所在的等价类，称为

的道路类 。 例 设道路，则

是凸集合。再设。

，其中

，并且

是

的从

到

的两条

命题 道路类的乘积满足结合律。即，

。

2.道路类的运算和基本群的构造

在道路类的积的运算中，有两种道路的类起着特殊的作用。 (1) 常值道路(2) 逆道路 设

是道路。则称道路

为道路

的逆道路。

命题 道路连通空间中的任意道路

。

命题 道路连通空间中的任意道路

。

下面解决第二个缺陷。

都满足下列等式：

都满足下列等式：

若把起点和终点都固定在给定点的道路，则问题即可解决。为此在给定空间中选定一点点

作为它的基点，再考虑处的闭道路。即若道路设 进行乘积运算。

设 定理 若在以

为基点的基本群。

下面讨论的基本群，总假定空间定理 设提示：设

，且

是以

是道路连通的。 和为起点，，

上述的同构依赖于

到

都是基本群。则为终点的道路。则

是同构映射。

。

：

中点

处的所有闭道路类的集合。

是群，并称它为空间

的

中点

中所有以

是点

为起点和终点的道路，这种道路称为处的闭道路，则

。

中的元素间彼此都可以

中

处的所有闭道路的集合。则

中引入道路类的乘积运算，则

的道路类，不同的道路类可能导出不同的同构。但，如果不

和

可以看作同一个抽象群。此时无需突出

计时是什么样的同构，那么基点，从而可以记作

，并且把这个抽象群称为道路连通空间的基本群。

例 独点空间的基本群是平凡群。 定义 若道路连通空间

具有平凡的基本群，则称

是单连通的。

例如，没有洞的平面区域是单连通的。它是数学分析和复变函数中单连通概念的推广。 推论 可缩空间是单连通的。

命题 基本群是同伦不变量。

3.道路类的基本群的基本性质和简单应用

命题 设例 例 设例 若

和是道路连通空间，则（整数加群）。

。

是2维环面，则，则

。即若

，则

是单连通的。

。

根据以上结果，环面，圆和球面都不是同伦等价的。

用基本群可以证明2维Brouwer不动点定理和代数基本定理。 二、微分拓扑学 1.微分结构

Bourbaki 学派的观点：数学研究的对象是各种结构。

例如，函数连续概念仅涉及拓扑结构；函数的可微性则同时涉及拓扑结构和线形结构。 又如，Banach 空间（甚至更一般的拓扑线性空间）具有整体的线性结构，它是平直空

间；球面虽然不具有整体的线性结构，但是它仍具有局部线性结构的空间。我们在一般拓扑学中证明了球面与平面区域非同胚。因此，要将地球表面画成地图册，就非得将地球撕破不可。不同的撕法对应不同的世界地图册。当然，同一地点在不同的地图册中应该有相同的表示，这就是数学中的相容性。

2.微分流形（Deferential manifold）

定义 设

是满足

分离公理的拓扑空间，

和

分别是

和

的开集合。若

是图卡

是同胚映射，则称

的定义域或局部坐标域。且

若

的两个图卡

和

若，

（atlas）。

设称

是

是

的一个

图汇，若与图汇。

的一族图卡

，

和和

是局部坐标或图卡（chart）。此时，亦称。 或者

是

，或者

时满足：

相容的。

类的，则称这两个图卡是

若满足：1）都是

相容的，则称

是

；2）对任意的两个图卡的

图汇或

图册

中的每一个图卡相容的任何图卡都属于，则

的一个极大