精选-概率论与数理统计浙大四版习题答案第五章

第五章 大数定理和中心极限定理

1．[一] 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。

解：设第i只寿命为Xi，（1≤i≤16），故E (Xi )=100，D (Xi )=1002(l=1,2,…,16).依本章定理1知

16P(?i?1???Xi?1920)?P????

?????Xi?1600?1920?1600?i?0??P??16?10016?100??????16?i?016Xi?1600400????0.8?

??? ??(0.8)?0.7881.

i从而P(?Xi?116?1920)?1?P(?Xi?116i?1920)?1?0.7881?0.2119.

3．[三] 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，

（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 解：

（1）设取整误差为Xi（i?1,2,?，1500），它们都在（－0.5, 0.5）上服从均匀分布。

于是： E(Xi)?p??0.5?0.5?0 2[0.5?(?0.5)]21 D(Xi)? ?1212 nE(Xi)?0,nD(Xi)?1500?1?125?11.18 1215001500????????P?Xi?15??1?P?Xi?15?????i?0i?1????

1500???1?P??15?Xi?15?i?1????? 54

1500??X?i?15???15?i?1 ?1?P????

11.1811.1811.18??????

?1?[?(1.34)??(?1.34)]

?2[1??(1.34)]?2?[1?0.9099]?0.18028．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？

解：设X为100人中治愈的人数，则X～B (n, p)其中n=100

?75?np?X?np75?np??（1）P(X?75)?1?P(X?75)?1?P??) ??1??(npq?npq??npq? ?1??(?55)??(?)?0.8944 44（2）p=0.7由中心极限定理知

?75?np?X?np75?np??P(X?75)?1?P(X?75)?1?P??) ??1??(npqnpqnpq???? ?1??(5)?1??(1.09)?1?0.8621?0.1379. 217．[七] 一复杂的系统，由100个互相独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。为了整个系统起作用至少必需有85个部件工作。求整个系统工作的概率。

（2）一个复杂的系统，由n个互相独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性不低于0.95。

解：（1）设每个部件为Xi (i=1,2,……100)

?1Xi???0

部件工作部件损坏不工作

55

设X是100个相互独立，服从（0－1）分布的随机变量Xi之和

X=X1+ X2+……+ X100

由题设知

n=100 P {Xi=1}=p=0.9, P {Xi=0}=0.1 E (Xi ) =p=0.9

D (Xi ) =p (1－p)=0.9×0.1=0.09

n·E (Xi ) =100×0.9=90, n D (Xi ) =100×0.09=9

??100??X?nE(Xi)85?nE(Xi)??P?Xi?85??P???

nD(Xi)???i?1??nD(Xi)??

?X?9085?90??X?90??5? ?=P???P??33??99??

X?905=1?P??????

33??由中心极限定理知

?1???53???1e2dt 2πt2

?1??(?=φ(1.67) =0.9525

5) 查标准正态分布表 3解：（2）设每个部件为Xi (i=1,2,……n)

?1Xi???0部件工作部件损坏不工作

P {Xi=1}=p=0.9, P {Xi=0}=1－p=0.1 E (Xi ) =p=0.9,

由问题知

D (Xi ) =0.9×0.1=0.09

?n80?P?Xi?n??0.95 求n=?

100?i?1??而

?n80?P?Xi?n?

100?i?1?? 56

????P???????=P??????80n?np??i?1?100?

nD(Xi)nD(Xi)???Xi?npnn?

?80Xi?0.9nn?0.9n??i?1?100?

0.3n0.3n???

?n?80X?0.9nn?0.9n??i??i?1?100=1－P???由中心极限定理知

0.3n??0.3n??????0.1n=1?????0.3n??0.1n????????0.3n????0.95 ?

查标准正态分布表得解得n≥24.35

0.1n?1.645

0.3n取n=25，即n至少为25才能使系统可靠性为0.95.

[八] 随机地取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的PH值，各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以X,Y分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均：

（1）求P {4.9

?XU?i?180i?80?5～N (0,1)

?YV?j?180j?80?5～N (0,1)

80?0.380?0.3???4.9?80?80?5（1）P{4.9?X?5.1}?P??80?0.3????i?180?Xi?80?5?5.1?80?80?5???

80?0.380?0.3??? 57