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例 7：计算行列式
1D?2213322133512?x2
19?x2解：设D?f(x)，则f(?1?)f0?,?(2所以f(x)有因子
x?1x,?1,2,x?2。 x?又由于行列式的定义知f(x)应为4次多项式，即
f(x)?A(x?1)(x?1)(x?2)(x?2)。
令x?0代入上式两端，可算出A?3，故
D??3(x?1)(x?1)(x?2)(x?2)
注：f(x)中的待定常数A可确定如下：D中含有x4的项为
4a11a22a33a与44a31a22a13a14，所以x的系数为-3，左右两边比较系数得
A??3。
二、行列式计算的若干方法
1、化三角形法
由定义法的例子我们看出，如果行列式可以化成上（下）三角形，那么它的值的绝对值就是主（次）对角线上元素的乘积，值的符号由列指标的奇偶性来判断。从而，我们得出求高阶行列式的一种常用的方法——化三角形法。
能化为三角形的行列式主要有以下几种：
（1）比例相加法。行列式对角线以下（上）的元素与行列式中某一行（列）的对应元素成比例。这样的行列式，只要把行列式的某一
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行（列）乘的适当倍数加到其它行（列），即可化为三角形。
1a1a1?b1...a1a2a2...a2.........anan...1...1例8：计算
...an?bn分析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的（－1）倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零。
解：将D的第一行的（－1）倍分别加到第2,3?（n?1）行上去，可得
10D?00a1b100a20b2...0...an.........00?b1b2...bn ............bn（2）提公因式法（Ⅰ）。行列式各行（列）元素的和都相同，这一类行列式的计算方法是把每一行（列）加到第一行（列）上，然后提取公因数，便可转化为（1）的形式或直接化为三角形的形式。
7111171111711117例9：计算
分析：这是一个四级行列式，用定义法我们知道它的值是4！个项的和，能准确的找出24项也是一件麻烦的事情，观察行列式我们会发现它每行（列）的和都是1＋1＋1＋7＝10，因此经过变换提公因数后会出现全为1的一行（列），在化三角形法中，我们最愿意看到的就是一行（列）1，故
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解：把所有列都加到第一列，提公因数，得
10111D?107111017110117?101111171111711117?101111060000600006?10?63?2160
由此可见，用提公因数的方法计算某些行列式，可以减少计算量，降低出现错误的可能性。我们再来看一个高阶行列式的例子。
例10：计算：
xa1D?a1...a1a1xa2...a2a2a2x...a3......an......an......an ...............xn分析：观察行列式的特点，行列式每行的和都为x??ai，故可
i?1提出公因数使第一列全变为1，则便形成（1）的形式，同样可以化为三角形。
解：把各列都加到第一列，提出公因数，得
1D?(x??ai)1i?1na1xa2...a2a2a2x...a3......an......an......an ...............x1...1再将第一列的(?a1),(?a2)...(?an)倍分别加到第2,3...n?1列，得
1D?(x??ai)i?1n0x?a100x?a1a3?a2..................00011a2?a11a2?a1
......x?an 10
?(x??ai)(x?a1)(x?a2)...(x?an)
i?1n（3）提公因式法（Ⅱ）。有些行列式，虽然各行（列）元素的和不相同，但第i(i?2,3,...n)行（列）乘以适当的倍数加到第一行（列）后，也可以提出公因数或直接化为三角形。
例11：计算
254D?1010423323545445
?354727627分析：这是一个三阶行列式用前面介绍的定义法便可求出结果，即
D?254?545?627?423?445?(?354)?323?545?(?354)?423?1010?627?254?445?727??304?105
虽然是三阶行列式，但计算量也是相当大的，仔细观察行列式会发现，行列式三行的和都是1000的倍数，且后两列的元素分别相差100，因此可以进行变换，然后提出公因数，使计算简便。
解：把第二、三列都加到第一列上，并用第二列减去第三列，则得
1000 100327100010062111327116210132701621100443?10521443?10511443?105?（?1） D=200013271621
=?294?105
例12：计算n阶行列式
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