高等数学计算c

0001例1：计算

002003004000

分析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有4!?24项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少。具体的说，展开式中的项的一般形式是a1ja2ja3ja4j。显然，如果j1?4，那么a1j?0，

12341从而这个项就等于零。因此只须考虑j1?4的项，同理只须考虑

j2?3,j3?2,j4?1的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有a14a23a32a41，而?(4321)?6，所以此项取正号。故

0001解：

002003004000?(?1)?(4321)a14a23a32a41?(?1)61?2?3?4?24

例2：计算行列式

2x13解：

2xx1xx211。 x 13x1?(?1)?(123)2x?x?x?(?1)?(213)x?1?x?(?1)?(321)1?x?3?(?1)?(132)2x?1?2 2x ?(?1)?(231)x1?3?(?1)?(312)1?1?2

?2x?x?x?x?1?x?1?x?3?2x?1?2?x?1?3?1?1?2?2x?x?4x?232。

4

a11a12...0...a1n......例3：计算

0...0a22...a2n...ann

分析：展开式中的项的一般形式是a1ja2j?anj，在行列式第n行

12n中的元素除去ann的外全为零。因而，只要考虑jn?n的那些项。在第

n?1行中，除去an?1,n?1,an?1,n外。其余的项全为零。因而jn?1只有n?1和n这两种可能，由于jn?n，所以jn?1只能取n?1，这样逐步推上去，不难看出，在展开式中除去a11a22...ann一项外，其余的项全是零，而这一项的列指标所成的排列为偶排列，故

a11a12..0...a1n......?a11a22...ann

0...0a22...a2n...ann解：

由上面的例子我们看到当行列式中含有很多的零元素时，用定义法可以减少相加的项而使计算变得简单。我们知道n阶行列式是由n!项组成的，当行列式中元素只有几个为零或全都不是零，且n?3时，用定义法计算行列式是相当复杂的。所以我们要掌握一些特殊的求高阶行列式的方法。

2、行列式的性质

性质1：行列式行列互换，行列式的值不变，即行列式与它的转置行列式的值相等。

5

a11a12?a1na22?a2n???an2?ann设行列式D?a21?an1

若行列式中aij??aji(i,j?1,2...n)则称D反对称行列式。

利用反对称行列式的性质及性质1也可以解一些特殊的行列式。 例4：计算

0?3?6530?2?91417046?2?40?597 80D??14?17?7?8分析：这是一个5级反对称行列式，将其每一行都乘以（－1） 则可得到它的转置行列式，故

解：D?DT?(?1)5D??D?D?0

我们可以证明，对于任何的奇数级反对称行列式均有D??D?0，但要强调指出，这个性质只适用于奇数级反对称行列式，而对于偶数级反对称行列式一般没有这个结论。

行列式性质4：如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。

行列式性质5：如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。

由这两条性质，在行列式的求解过程中，若能判断行列式符合上面的性质，则不论多么复杂的行列式，我们都可以直接判断它为零，而不需要化成别的简单的形式进行计算。

例5：计算

6

a2b2c2(a?1)2(b?1)2(c?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(a?3)2(b?3)2(c?3)2

d2(d?1)2(d?2)2(d?3)2分析：这个行列式看起来比较复杂，但稍加分析便会发现，行列式的后三列元素展开后对应的成二阶等差数列，故做两次减法后便会出现相同的项。

解：从第四列起，第列减前一列，得新行列式后，后三列再依次做差。

a2D?b2c22a?12a?32a?52b?12b?32c?12c?32b?52c?5?a2b2c22a?1222b?1222c?1222d?122?0

d22d?12d?32d?5d2例6：计算n阶行列式

a1?b1Dn?a2?b1?a1?b2?a1?bna2?b2?a2?bn???

an?b1an?b2?an?bn解:将第一行的（-1）倍加到第2，3，?，n行，得

a1?b1Dn?a2?a1?a1?b2?a1?bna2?a1?a2?a1???

an?a1an?a1?an?a1当n≥3时，由于上式右端的行列式中至少有两行成比例，故

Dn=0.

当n=1时，D1?a1?b1； 当n=2时，D2?a1?b1a2?b1a1?b2a2?b2?(a1?b1)(a2?b2)?(a1?b2)(a2?b1)

?(a1?a2)(b2?b1)

7