2020高考数学 函数、导数及其应用特训 利用导数研究函数的单调性（含解析）（文）新人教A版

1－k又由题知f′(1)＝＝0，所以k＝1.

e1

－ln x－1x(2)f′(x)＝(x>0)． xe

111

设h(x)＝－ln x－1(x＞0)，则h′(x)＝－2－＜0，

xxx所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减．

由h(1)＝0知，当0＜x＜1时，h(x)＞0，所以f′(x)＞0； 当x＞1时，h(x)＜0，所以f′(x)＜0.

综上，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)． 16．已知x＝1是f(x)＝2x＋＋ln x的一个极值点． (1)求函数f(x)的单调递减区间；

3＋a(2)设函数g(x)＝f(x)－，若函数g(x)在区间[1,2]内单调递增，求a的取值范围．

bxxb1

解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2－2＋.

xx∵x＝1是f(x)＝2x＋＋ln x的一个极值点， ∴f′(1)＝0，即2－b＋1＝0.

解得b＝3，经检验，适合题意，∴b＝3. 12x＋x－3

∵f′(x)＝2－2＋＝， 2

3

2

bxxxx解f′(x)≤0，得0＜x≤1.

∴函数f(x)的单调递减区间为(0,1]． 3＋aa(2)g(x)＝f(x)－＝2x＋ln x－(x＞0)，

xx1ag′(x)＝2＋＋2(x＞0)．

xx∵函数g(x)在[1,2]上单调递增， ∴g′(x)≥0在[1,2]上恒成立， 1a即2＋＋2≥0在[1,2]上恒成立，

xx∴a≥－2x－x在[1,2]上恒成立， ∴a≥(－2x－x)max，x∈[1,2]．

2

2

5

∵在[1,2]上，(－2x－x)max＝－3， ∴a≥－3，即a的取值范围为[－3，＋∞)．

2

6