2020高考数学 函数、导数及其应用特训 利用导数研究函数的单调性（含解析）（文）新人教A版

课下层级训练(十四) 利用导数研究函数的单调性

[A级 基础强化训练]

1．(2019·湖北八校联考)函数f(x)＝lnx－ax(a>0)的单调递增区间为( )

?1?A．?0，? ??

a?

1??C．?－∞，?

?1?B．?，＋∞? ?a?

D．(－∞，a)

a?

11?1?A [由f′(x)＝－a>0，得0

xa?a?

2．(2019·山东聊城月考)函数f(x)＝(x－3)e的单调递增区间是( ) A．(－∞，2) C．(1,4)

xxB． (0, 3) D． (2，＋∞)

xD [因为f(x)＝(x－3)e，则f′(x)＝e(x－2)，令f′(x)＞0，得x＞2，所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)．]

3．(2019·重庆涪陵月考)已知函数f(x)＝x＋2cos x，若f′(x)是f(x)的导函数，则函数f′(x)的图象大致是( )

2

A [设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，g′(x)＝2－2cos x≥0，所以函数f′(x)在R上单调递增．]

13

4．已知函数f(x)＝x＋ax＋4，则“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的( )

2A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

32

A [f′(x)＝x＋a，当a>0时，f′(x)>0，即a>0时，f(x)在R上单调递增，由f(x)

2在R上单调递增，可得a≥0.故“a＞0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．]

5．(2019·广西钦州质检)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－

?1?∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f??，c＝f(3)，则( )

?2?

A．a

B．c

1

C [依题意得，当x<1时，f′(x)>0，f(x)为增函数；又f(3)＝f(－1)，且－1<0<<1，

2

1

?1??1?因此有f(－1)

e

6．(2019·四川成都月考)函数f(x)＝的单调递减区间是__________.

xx(－∞，0)，(0,1) [f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， e·x－ee

f′(x)＝＝2

xxxxx－1

，令f′(x)＜0，解得x＜1，故f(x)在(－∞，0)，(0,1)x2递减．]

7. (2019·辽宁阜新二中月考)若函数f(x)＝x－ax＋1在(0,2)内单调递减，则实数a的范围为__________.

2a≥3 [∵函数f(x)＝x3－ax2＋1在(0,2)内单调递减，∴f′(x)＝3x－2ax≤0在(0,2)

3

2

3

内恒成立．即a≥x在(0,2)内恒成立．

2

t＝x在(0,2)上的值域为(0,3)，∴a≥3.]

32

?π?8．若f(x)＝xsin x＋cos x，则f(－3)，f??，f(2)的大小关系为________. ?2?

f(－3)＜f(2)＜f?? [函数f(x)为偶函数，因此f(－3)＝f(3)．

2

又f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x， 当x∈?

?π???

?π，π?时，f′(x)≤0.

??2?

?π?所以f(x)在区间?，π?上是减函数，

?2??π?所以f??＞f(2)＞f(3)＝f(－3)．]

?2?

9．已知函数f(x)＝e(ax－2x＋2)(a>0)．试讨论f(x)的单调性． 解 由题意得f′(x)＝e[ax＋(2a－2)x](a>0)， 2－2a令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝. x2

x2

a①当0

?2－2a，＋∞?，单调递减区间为

?

?a?

?0，2－2a?；

?a???

②当a＝1时，f(x)在(－∞，＋∞)内单调递增；

2－2a??③当a>1时，f(x)的单调递增区间为?－∞，?和(0，＋∞)，单调递减区间为

?a?

2

?2－2a，0?. ?a???

10．(2018·河北邯郸考前保温卷)已知函数f(x)＝e－x－ax.

(1)若函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程为y＝2x＋b，求a，b的值； (2)若函数f(x)在R上是增函数，求实数a的最大值． 解 (1)∵f(x)＝e－x－ax，

∴f′(x)＝e－2x－a，则f′(0)＝1－a. 由题意知1－a＝2，即a＝－1. ∴f(x)＝e－x＋x，则f(0)＝1. 于是1＝2×0＋b，b＝1.

(2)由题意f′(x)≥0，即e－2x－a≥0恒成立，∴a≤e－2x恒成立． 设h(x)＝e－2x，则h′(x)＝e－2.

∴当x∈(－∞，ln 2)时，h′(x)＜0，h(x)为减函数； 当x∈(ln 2，＋∞)时，h′(x)＞0，h(x)为增函数． ∴h(x)min＝h(ln 2)＝2－2ln 2.

∴a≤2－2ln 2，即a的最大值为2－2ln 2.

[B级 能力提升训练]

132

11．若函数f(x)＝x－x＋ax－5在区间[－1,2]上不单调，则实数a的取值范围是

3( )

A．(－∞，－3] C．[1，＋∞)

132

B [因为f(x)＝x－x＋ax－5，

3所以f′(x)＝x－2x＋a＝(x－1)＋a－1，

132

如果函数f(x)＝x－x＋ax－5在区间[－1,2]上单调，那么a－1≥0或

3

??f′??f′?

2

2

x2

x2

xx2

xxxxB．(－3,1)

D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

－1≤0，2≤0，

解得a≥1或a≤－3，

于是满足条件的a∈(－3,1)．]

12．定义在区间(0，＋∞)上的函数y＝f(x)使不等式2f(x)

A．8

f2

<16 f1f2

<4 f1

B．4

f2

<8 f1f2

<3 f1

3

B [∵xf′(x)－2f(x)>0，x>0，

fx?f′x·x2－2xfxxf′x－2fx?∴?′＝＝>0， 2?4

xx3?x?

∴y＝∴

fx在(0，＋∞)上单调递增， x2

2

f2

2

>

f1

1

2

，即

f2

>4.

f1

∵xf′(x)－3f(x)<0，x>0，

fx?f′x·x3－3x2fxxf′x－3fx?∴?′＝＝<0， 3?6

xx4?x?

∴y＝∴

fx在(0，＋∞)上单调递减， x3

3

f2

2

<

f1

1

3

，即

f2f2

<8. 综上，4<<8.] f1f1

13．(2019·山东临沂检测)若函数f(x)的定义域为R，且满足f(2)＝2，f′(x)>1，则不等式f(x)－x>0的解集为__________.

(2，＋∞) [令g(x)＝f(x)－x，∴g′(x)＝f′(x)－1. 由题意知g′(x)>0，∴g(x)为增函数．∵g(2)＝f(2)－2＝0，∴g(x)>0的解集为(2，＋∞)．]

1312?2?14．若函数f(x)＝－x＋x＋2ax在?，＋∞?上存在单调递增区间，则a的取值范围32?3?是__________.

?－1，＋∞? [对f(x)求导，得

?9???

f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－?x－?2＋＋2a.

2

??

1??

14

21?2??2?2

当x∈?，＋∞?时，f′(x)的最大值为f′??＝＋2a. 令＋2a>0，解得a>－，所以

99?3??3?9

??a的取值范围是?－，＋∞?.]

?

ln x＋k15．(2019·云南大理质检)已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，xe

1?9

f(1))处的切线与x轴平行．

(1)求实数k的值；

(2)求函数f(x)的单调区间． 1

－ln x－kx解 (1)f′(x)＝(x>0)． xe

4