北京市丰台区2020届高三下学期综合练习(二)%28二模%29数学试题%28解析版%29

40人的学校共4所，随机选择2所学校共种，利用古典概率计算公式即可得出概率．

（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所．利用超几何分布列计算公式即可得出．

（Ⅲ）答案不唯一．示例：虽然概率非常小，但是也可能发生，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化．

【解答】解：（Ⅰ）记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S，现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查，可得基本事件总数为参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所，随机选择2所学校共

．

种，

所以．………（4分）

（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2，参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所．

，

X的分布列为：

X P

0

1

2

．………（11分）

（Ⅲ）答案不唯一．

答案示例1：可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化．理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：

．

，

．

指导前，甲同学总考核为“优”的概率非常小，一旦发生，就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化． 答案示例2：无法确定．理由如下： 指导前，甲同学总考核为“优”的概率为：

．

虽然概率非常小，但是也可能发生，所以，无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化． ………（14分）

19．【分析】（Ⅰ）求导，列出随x的变化，f'（x）和f（x）的情况表，进而求得极值； （Ⅱ）令

，求导，由＞0得ex﹣1＞0，则g（'x）

＞0，进而得出函数g（x）的单调性，由此得证； （Ⅲ）当

时，由（Ⅱ）知符合题意，再令

，分

及a≥0均可判断不合题意，进而得出实数a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）因为，定义域R，

所以．

令f'（x）＝0，解得x＝0．

随x的变化，f'（x）和f（x）的情况如下：

x （﹣∞，0）

0 （0，+∞） f′（x） + 0 ﹣ f（x）

增

极大值

减

由表可知函数f（x）在x＝0时取得极大值f（0）＝1，无极小值； （

Ⅱ

）

证

明

：

令

．

由x＞0得ex﹣1＞0， 于是g'（x）＞0，

故函数g（x）是[0，+∞）上的增函数．

所以当x∈（0，+∞）时，g（x）＞g（0）＝0，即；

（Ⅲ）当

时，由（Ⅱ）知

，满足题意．

令，．

，

当减函数． 所以

时，若，h'（x）＜0，则h（x）在上是

时，h（x）＜h（0）＝0，不合题意．

当a≥0时，h'（x）＜0，则h（x）在（0，+∞）上是减函数，所以h（x）＜h（0）＝0，不合题意．

综上所述，实数a的取值范围

．

可知，

，

20．【分析】（Ⅰ）把点A坐标代入椭圆的方程得a＝1．由△AOB的面积为解得b，进而得椭圆C的方程．

（Ⅱ） 设直线l的方程为y＝kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）．联立直线l与椭圆C的方程的关于x的一元二次方程．△＞0，进而解得k的取值范围．

（Ⅲ）因为A（1，0），P（0，1），M（x1，y1），N（x2，y2），写出直线AM的方程，令x＝0，解得

．点S的坐标为

．同理可得：点T的坐标为

．用

坐标表示，，，代入，得．同理

．由（Ⅱ）得

取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆所以a2＝1解得a＝1． 由△AOB的面积为解得

，

可知，

，

经过点A（1，0），

，代入 λ+μ，化简再求

所以椭圆C的方程为x2+2y2＝1．

（Ⅱ） 设直线l的方程为y＝kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）． 联立

，消y整理可得：（2k2+1）x2+4kx+1＝0．

因为直线与椭圆有两个不同的交点，

所以△＝16k2﹣4（2k2+1）＞0，解得因为k＞0，所以k的取值范围是

． ．

（Ⅲ）因为A（1，0），P（0，1）M（x1，y1），N（x2，y2）， 所以直线AM的方程是：

．

令x＝0，解得．

所以点S的坐标为．

同理可得：点T的坐标为．

所以，，．

由，

可得：，

所以．

同理．

由（Ⅱ）得，

所以 ＝