最新数学选修1-1《圆锥曲线与方程》复习训练题(含详细答案)

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相减得(y1?y0)(y1?y0)?2p(x1?x0),故kPA?y1?y0?x1?x02p(x1?x0) y1?y02p(x2?x0),由PA，PB倾斜角互补知kPA??kPB y2?y0 即2p??2p,所以y1?y2??2y0, 故y1?y2??2

y1?y0y2?y0y0 同理可得kPB? 设直线AB的斜率为kAB,由y22?2px2，y12?2px1,相减得

(y2?y1)(y2?y1)?2p(x2?x1) 所以kAB?y2?y1?x2?x12p(x1?x2), 将y1?y2??2y0(y0?0)代入得 y1?y2 kAB?

2pp??，所以kAB是非零常数.

y1?y2y0x2y2

19. 解： 因为双曲线的焦点在x轴上，故其方程可设为2－2＝1(a>0，b>0)，又因为

abb它的一条渐近线方程为y＝3x，所以＝3，即

ab2＝a2

c2－a22＝e－1＝3.解得e＝2，2

ax2

y2

因为c＝4，所以a＝2，b＝3a＝23，所以双曲线方程为－＝1.

412

因为椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列，所以这个等比数列的中间项一定是抛物线的离心率1，由等比数列性质可得椭圆和双曲线的离心率互为倒数，因此，椭圆1xy222

的离心率为，设椭圆方程为2＋2＝1(a1>b1>0)，则c＝4，a1＝8，b1＝8－4＝48.

2a1b1

所以椭圆的方程为＋＝1，易知抛物线的方程为y＝16x.

6448

2

2

x2y2

2

x2y220解：解：（1）设椭圆方程为2?2?1(a?b?0)

ab?a?2b222?xya?8????1 解得则?4 ∴椭圆方程为1?2?2?182?b?2??2b?a（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m ； 又KOM=

1 2 ?l的方程为：y?1x?m 21?y?x?m??222?x?2mx?2m?4?0 由?22?x?y?1?2?8∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点， 精品文档

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???(2m)2?4(2m2?4)?0,解得?2?m?2,且m?0

2a?依题意，知H??－c，0?，F(c,0)，又由题设得B(0，b)，xP＝c，代入椭圆方程结合题设

b2

解得yP＝. a

因为HB∥OP，所以kHB＝kOP.

b2

b－0a2

由此得2＝?ab＝c， ac

0＋

c

22

cb2a－c

从而得＝?e＝2＝e－2－1.

acc

∴e4＋e2－1＝0，又0

5－1

. 2

22.解：(1)∵P为椭圆上任意一点，

∴|PF1|＋|PF2|＝2a且a－c≤|PF1|≤a＋c，

→→→→令y＝PF1·PF2＝|PF1||PF2|cos∠F1PF2

1→2→22＝(|PF1|＋|PF2|－4c) 2

1→2→22＝[|PF1|＋(2a－|PF1|)－4c] 2

222

＝(|PF1|－a)＋a－2c，

22

当|PF1|＝a时，y有最小值a－2c；

22

当|PF1|＝a－c或a＋c时，y有最大值a－c，

222???a－c＝3?a＝4222∴?2.∴?2，b＝a－c＝3， 2

?a－2c＝2?c＝1??

∴椭圆方程为＋＝1.

43

(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)， 将y＝kx＋m代入椭圆方程得 精品文档

x2y2

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(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0，

2

－8km4m－12

∴x1＋x2＝2，x1x2＝2，

4k＋34k＋3

∵y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m， y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2， 又以MN为直径的圆过点A(2,0)，

→→∴AM·AN＝0，即x1x2－2(x1＋x2)＋4＋y1y2＝0，

22

∴7m＋16km＋4k＝0，

2

∴m＝－k或m＝－2k，且满足Δ＞0，

7

若m＝－2k，直线l恒过定点(2,0)，不合题意舍去， 222

若m＝－k，直线l：y＝k(x－)恒过定点(，0) 777

2

2

2

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