高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课新人教A版选修21

解得a＝3，故所求椭圆的方程为＋y＝1.

3

2

x2

2

y＝kx＋m，??2

(2)设P为弦MN的中点，由?x 2

＋y＝1??3

得(3k＋1)x＋6mkx＋3(m－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个交点， 所以Δ＞0，即m＜3k＋1.① 所以xP＝

2

2

2

2

2

xM＋xN23mk＝－2，

3k＋1

设M(xM，yM)，N(xN，yN)，P(xP，yP) 从而yP＝kxP＋m＝2，

3k＋1

myP＋1m＋3k2＋1

所以kAP＝＝－，

xP3mk又|AM|＝|AN|，所以AP⊥MN，

m＋3k2＋112

则－＝－，即2m＝3k＋1.②

3mkk把②代入①得2m＞m，解得0＜m＜2， 2m－12

由②得k＝＞0，

3

1?1?解得m＞，故所求m的取值范围是?，2?. 2?2?

2

归纳升华

1．在求解直线与圆锥曲线的位置关系的问题时，一般需将直线方程与圆锥曲线方程联立、消元，转化成一元二次方程，利用韦达定理和判别式求解，要注意一元二次方程系数及

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判别式．要刻画几何意义，便于用代数方法解决．

2．解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法． (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．

x2y26

[变式训练] 已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点

ab3

的距离为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为的最大值．

6?c?＝，

解：(1)设椭圆的半焦距为c，依题意有?a3

??a＝3，所以c＝2，b＝1.所以所求椭圆方程为＋y＝1. 3(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)． ①当AB⊥x轴时，|AB|＝3.

②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m. 由已知

|m|1＋k＝2

3322

，得m＝(k＋1)． 24

3

，求△AOB面积2

x2

2

把y＝kx＋m代入椭圆方程，

整理得(3k＋1)x＋6kmx＋3m－3＝0， －6km3（m－1）

所以x1＋x2＝2，x1x2＝. 2

3k＋13k＋1所以|AB|＝(1＋k)(x2－x1)＝

2

2

2

2

2

2

2

km12（m－1）??36

(1＋k)?＝ 22－2

3k＋1??（3k＋1）?

2

222

12（k＋1）（3k＋1－m）3（k＋1）（9k＋1）＝＝ 2222

（3k＋1）（3k＋1）12k3＋4＝3＋2

9k＋6k＋1

2

22222

1212

(k≠0)≤3＋＝4. 12×3＋62

9k＋2＋6

k132

当且仅当9k＝2，即k＝±时等号成立．

k3此时Δ＝12(3k＋1－m)＞0，

2

2

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