高中数学第二章圆锥曲线与方程章末复习课新人教A版选修21

【金版学案】2016-2017学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程章末

复习课 新人教A版选修2-1

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[警示·易错提醒]

1．求曲线与方程的两个关注点

(1)求曲线的方程与求轨迹是有区别的．若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，在何处等，即图形的形状、位置、大小都要加以说明、讨论等．

(2)由方程研究曲线时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件和限制条件，避免因考虑不全面而致误．

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2．处理与三种圆锥曲线的方程和性质有关的问题的注意点

(1)求圆锥曲线的标准方程时，要先定位，再定量；当焦点位置不能确定时，需分类讨论或者用椭圆双曲线的一般方程形式解决．

(2)在椭圆中，a，b，c的关系是c＝a－b，而在双曲线中，a，b，c的关系是c＝a＋b，两者极易混淆，要注意区分，以防出错．

(3)在解与圆锥曲线上点有关的最值问题时，一定不能忽略圆锥曲线的范围． 3．直线与圆锥曲线的位置关系问题的关注点

(1)在解析几何中，凡是直线与圆锥曲线相交问题先考虑相交的前提，否则易产生错解． (2)直线与双曲线抛物线相交时，有一个交点或两个交点之分；直线与双曲线抛物线有一个公共点时，有相交或相切之分；当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交有一个公共点；当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交，有一个公共点．

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专题一 圆锥曲线定义的应用

研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再结合几何图形利用几何意义去解决有关的最值问题．

[例1] 若点M(2，1)，点C是椭圆＋＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|

167＋|AC|的最小值是________．

解析：设点B为椭圆的左焦点，则B(－3，0)，点M(2，1)在椭圆内，那么|BM|＋|AM|＋|AC|≥|AB|＋|AC|＝2a，

x2y2

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所以|AM|＋|AC|≥2a－|BM|，

而a＝4，|BM|＝（2＋3）＋1＝26， 所以(|AM|＋|AC|)min＝8－26. 答案：8－26

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归纳升华

圆锥曲线定义的应用技巧

1．在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，则根据定义直接写出圆锥曲线的轨迹方程．

2．在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的“焦点三角形”问题，处理时常结合圆锥曲线的定义及解三角形的知识解决．

3．在抛物线中，常利用定义解题，以达到“到焦点的距离”和“到准线的距离”相互转化的目的．

[变式训练] 抛物线y＝2px(p＞0)上有A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)三点，F是它

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的焦点，若|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，则( )

A．x1，x2，x3成等差数列 B．y1，y2，y3成等差数列 C．x1，x3，x2成等差数列 D．y1，y3，y2成等差数列

解析：如图，过A、B、C分别作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，由抛物线定义：

|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|CF|＝|CC′|. 因为2|BF|＝|AF|＋|CF|， 所以2|BB′|＝|AA′|＋|CC′|.

又因为|AA′|＝x1＋，|BB′|＝x2＋，|CC′|＝x3＋，

222所以2?x2＋?＝x1＋＋x3＋?2x2＝x1＋x3.

2?22?答案：A

专题二 有关圆锥曲线性质的问题

有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握好基本公式和概念，充分理解题意，大都可以顺利求解．

ppp?

p?

ppx2y2

[例2] 双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率

ab是( )

3

A．2 B.3C.2D.

2

x2y2bb?b?b2

解析：双曲线2－2＝1的两条渐近线方程为y＝±x，依题意·?－?＝－1，故2＝1，

abaa?a?ac2－a22

所以2＝1即e＝2，所以双曲线的离心率e＝2.

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