2013年四川省绵阳市中考数学试卷及解析

∴Q1（1，0），Q2（，﹣）（均不合题意舍去） 综上所述，不存在满足条件的点Q．

【点评】此题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数解析式的确定，相似三角形、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；在相似三角形的对应角和对应边不确定的情况下，一定要注意分类讨论，以免漏解． 25．（14分）

【考点】相似形综合题；三角形的重心． 【分析】（1）如答图1，作出中位线DE，证明△AOC∽△DOE，可以证明结论；

（2）如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）

可知，=，而已知，故点O与点Q重合，即点O为△ABC的重心；

（3）如答图3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出达式，这是一个二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值． 【解答】（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E．

的表

∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点． ∴DE是中位线，

∴DE∥AC，且DE=AC． ∵DE∥AC，

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∴△AOC∽△DOE， ∴

=2，

∵AD=AO+OD， ∴

．

（2）答：点O是△ABC的重心．

证明：如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．

由（1）可知，而

，

=，

∴点Q与点O重合（是同一个点）， ∴点O是△ABC的重心．

（3）解：如答图3所示，连接DG．

设S△GOD=S，由（1）知

，即OA=2OD，

∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S．

为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S△BGD=3xS． ∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S， ∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S．

设OH=k?OG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS， ∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S．

∴S四边形BCHG=S△ABC﹣S△AGH=（6x+6）S﹣（2k+2）S=（6x﹣2k+4）S．

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∴== ①

如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE． ∵OF∥BC， ∴

，

∴OF=CD=BC； ∵GE∥BC， ∴∴GE=

；

，

∴=，

∴

∵OF∥GE， ∴∴∴k=

=

，

，

，代入①式得：

．

===﹣x+x+1=﹣（x﹣）+，

22

∴当x=时，有最大值，最大值为．

【点评】本题是几何综合题，以三角形的重心为背景，考查了重心的概念、性质以及应用，考查了相似三角形、中位线、图形面积、二次函数最值等知识点．试题的难点在于第（3）问，如何求出

同学们可以深入探究．

的关系式是解题的关键；另外，第（3）问尚有多种不同的解法，

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