2013年四川省绵阳市中考数学试卷及解析

（2）证明∠GED=∠CDF，然后利用两角法可判断△EGD∽△DCF，设点E坐标为（，2），点F坐标为（4，），即可得CF=，BF=DF=2﹣，在Rt△CDF中表示出CD，利用对应边成比例可求出k的值． 【解答】解：（1）∵点E是AB的中点，OA=2，AB=4， ∴点E的坐标为（2，2）， 将点E的坐标代入y=，可得k=4， 即反比例函数解析式为：y=， ∵点F的横坐标为4， ∴点F的纵坐标==1，

故点F的坐标为（4，1）；

（2）由折叠的性质可得：BE=DE，BF=DF，∠B=∠EDF=90°， ∵∠CDF+∠EDG=90°，∠GED+∠EDG=90°， ∴∠CDF=∠GED，

又∵∠EGD=∠DCF=90°， ∴△EGD∽△DCF，

结合图形可设点E坐标为（，2），点F坐标为（4，）， 则CF=，BF=DF=2﹣，ED=BE=AB﹣AE=4﹣，

在Rt△CDF中，CD===，

∵=，即=，

∴=1，

解得：k=3．

【点评】本题考查了反比例函数的综合，解答本题的关键是利用点E的纵坐标，点F的横坐标，用含k的式子表示出其他各点的坐标，注意掌握相似三角形的对应边成比例的性质，难度较大． 23．（12分）

【考点】一元二次方程的应用；一次函数的应用． 【分析】（1）首先根据1月份和3月份的销售量求得月平均增长率，然后求得4月份的销量即可；

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（2）设A型车x辆，根据“A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍”列出不等式组，求出x的取值范围；然后求出利润W的表达式，根据一次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）设平均增长率为a，根据题意得：

2

64（1+a）=100

解得：a=0.25=25%或a=﹣2.25

四月份的销量为：100?（1+25%）=125（辆）． 答：四月份的销量为125辆．

（2）设购进A型车x辆，则购进B型车根据题意得：2×解得：30≤x≤35

利润W=（700﹣500）x+

∵50＞0，∴W随着x的增大而增大． 当x=35时，∴x=34，此时

不是整数，故不符合题意， =13（辆）．

（1300﹣1000）=9000+50x．

≤x≤2.8×

辆，

答：为使利润最大，该商城应购进34辆A型车和13辆B型车．

【点评】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式组和一次函数的应用，解题关键是根据题意列出方程或不等式，这也是本题的难点． 24．（12分）

【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）由于抛物线的顶点C的坐标为（0，﹣2），所以抛物线的对称轴为y轴，且与

2

y轴交点的纵坐标为﹣2，即b=0，c=﹣2，再将A（﹣1，0）代入y=ax+bx+c，求出a的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令y=0，解一元二次方程求出x的值即可得到点B的坐标； （2）设P点坐标为（m，n）．由于∠PDB=∠BOC=90°，则D与O对应，所以当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：

①△OCB∽△DBP；②△OCB∽△DPB．根据相似三角形对应边成比例，得出n与m的关系式，进而可得到点P的坐标；

2

（3）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．过点Q作QE⊥l于点E．利用AAS易证△DBP≌△EPQ，得出BD=PE，

DP=EQ．再分两种情况讨论：①P（m，）；②P（m，2（m﹣1））．都根据BD=PE，

DP=EQ列出方程组，求出x与m的值，再结合条件x＞0且m＞1即可判断不存在第一象限

内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．

2

【解答】解：（1）∵抛物线y=ax+bx+c的顶点坐标为C（0，﹣2）， ∴b=0，c=﹣2；

2

∵y=ax+bx+c过点A（﹣1，0）， ∴0=a+0﹣2，a=2，

2

∴抛物线的解析式为y=2x﹣2．

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当y=0时，2x﹣2=0， 解得x=±1，

∴点B的坐标为（1，0）；

（2）设P（m，n）． ∵∠PDB=∠BOC=90°，

∴当以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似时，分两种情况： ①若△OCB∽△DBP，则即=解得n=

， ．

=

，

2

由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件， ∴此时点P坐标为（m，②若△OCB∽△DPB，则即

=，

=

）或（m，，

）（舍）；

解得n=2m﹣2．

由对称性可知，在x轴上方和下方均有一点满足条件， ∴此时点P坐标为（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）， ∵P在第一象限，m＞1，

∴（m，2m﹣2）或（m，2﹣2m）舍 综上所述，满足条件的点P的坐标为：（m，

（3） 方法一：

假设在抛物线上存在第一象限内的点Q（x，2x﹣2），使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形．

如图，过点Q作QE⊥l于点E．

∵∠DBP+∠BPD=90°，∠QPE+∠BPD=90°， ∴∠DBP=∠QPE． 在△DBP与△EPQ中，

，

∴△DBP≌△EPQ， ∴BD=PE，DP=EQ． 分两种情况： ①当P（m，

）时，

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2

），（m，2m﹣2）．

∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x﹣2），

2

∴，

解得，（均不合题意舍去）；

②当P（m，2（m﹣1））时，

2

∵B（1，0），D（m，0），E（m，2x﹣2）， ∴

，

解得，（均不合题意舍去）；

综上所述，不存在满足条件的点Q．

方法二：

若在第一象限内存在点Q， ①∵B（1，0），P（m，

），

点Q可视为点B绕点P顺时针旋转90°而成， 将点P平移至原点，得P′（0，0），则点B′（1﹣m，将点B′顺时针旋转90°，则点Q′（将点P′平移回P（m，∴Q（

，

），

2

），

，m﹣1），

），则点Q′平移后即为点Q，

将点Q代入抛物线得：m﹣m=0， ∴m1=1，m2=0，

∴Q1（1，0），Q2（0，﹣）（均不合题意舍去）， ②∵B（1，0），P（m，2m﹣2）， 同理可得Q（2﹣m，3m﹣3），

2

将点Q代入抛物线得：3m﹣3=2（2﹣m）﹣2，

2

∴2m﹣11m+9=0， ∴m1=1，m2=，

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