2013年四川省绵阳市中考数学试卷及解析

【点评】本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边的关系． 18．（4分）

【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】分别根据二次函数开口方向以及对称轴位置和图象与y轴交点得出a，b，c的符号，再利用特殊值法分析得出各选项． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∴2a＜0，

22

对称轴x=﹣＞1，﹣b＜2a，

∴2a+b＞0，故选项①正确； ∵﹣b＜2a，

∴b＞﹣2a＞0＞a，

令抛物线解析式为y=﹣x+bx﹣，

此时a=c，欲使抛物线与x轴交点的横坐标分别为和2，

2

则=﹣，

解得：b=，

∴抛物线y=﹣x+x﹣，符合“开口向下，与x轴的一个交点的横坐标在0与1之间， 对称轴在直线x=1右侧”的特点，而此时a=c，（其实a＞c，a＜c，a=c都有可能）， 故②选项错误；

∵﹣1＜m＜n＜1，﹣2＜m+n＜2， ∴抛物线对称轴为：x=﹣

＞1，

＞2，m+n

，故选项③正确；

2

当x=1时，a+b+c＞0，2a+b＞0，3a+2b+c＞0， ∴3a+c＞﹣2b，∴﹣3a﹣c＜2b，

∵a＜0，b＞0，c＜0（图象与y轴交于负半轴）， ∴3|a|+|c|=﹣3a﹣c＜2b=2|b|，故④选项正确． 故答案为：①③④．

【点评】此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，利用特殊值法求出m+n的取值范围是解题关键．

三．解答题：本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 19．（16分）

【考点】解分式方程；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．

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【分析】（1）原式第一项利用负指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值及绝对值的代数意义化简计算即可得到结果；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：（1）原式=﹣+2（=﹣+2 =1；

（2）去分母得：x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）=3，

去括号得：x+2x﹣x﹣x+2=3， 解得：x=1，

经检验x=1是增根，原分式方程无解．

【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 20．（12分）

【考点】折线统计图；统计表；算术平均数；中位数；方差． 【分析】（1）根据折线统计图列举出乙的成绩，计算出甲的中位数，方差，以及乙平均数，中位数及方差，补全即可；

（2）计算出甲乙两人的方差，比较大小即可做出判断；

（3）希望甲胜出，规则改为9环与10环的总数大的胜出，因为甲9环与10环的总数为4环．

【解答】解：（1）根据折线统计图得：

乙的射击成绩为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，

﹣1）×（+1）

22

则平均数为方差为

2

2

=7（环），中位数为7.5（环），

2

2

2

2

2

[（2﹣7）+（4﹣7）+（6﹣7）+（8﹣7）+（7﹣7）+（7﹣7）+（8﹣7）+

2

2

2

（9﹣7）+（9﹣7）+（10﹣7）]=5.4；

甲的射击成绩为9，6，7，6，2，7，7，？，8，9，平均数为7（环）， 则甲第八环成绩为70﹣（9+6+7+6+2+7+7+8+9）=9（环）， 所以甲的10次成绩为：9，6，7，6，2，7，7，9，8，9． 中位数为7（环）， 方差为

[（9﹣7）+（6﹣7）+（7﹣7）+（6﹣7）+（2﹣7）+（7﹣7）+（7﹣7）+

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

（9﹣7）+（8﹣7）+（9﹣7）]=4． 补全表格如下：

甲、乙射击成绩统计表 平均数 中位数 方差 甲

7 7 4 命中10环的次数 0 第14页（共23页）

7 乙 甲、乙射击成绩折线图 7.5 5.4 1

（2）由甲的方差小于乙的方差，甲比较稳定，故甲胜出；

（3）如果希望乙胜出，应该制定的评判规则为：平均成绩高的胜出；如果平均成绩相同，则随着比赛的进行，发挥越来越好者或命中满环（10环）次数多者胜出．因为甲乙的平均成绩相同，乙只有第5次射击比第四次射击少命中1环，且命中1次10环，而甲第2次比第1次、第4次比第3次，第5次比第4次命中环数都低，且命中10环的次数为0次，即随着比赛的进行，有可能乙的射击成绩越来越好．

【点评】此题考查了折线统计图，中位数，方差，平均数，以及统计表，弄清题意是解本题的关键． 21．（12分）

【考点】切线的判定；扇形面积的计算． 【分析】（1）CD与圆O相切，理由为：由AC为角平分线得到一对角相等，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行，根据AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得证；

（2）根据E为弧AC的中点，得到弧AE=弧EC，利用等弧对等弦得到AE=EC，可得出弓形AE与弓形EC面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形DEC的面积，求出即可． 【解答】解：（1）CD与圆O相切．理由如下： ∵AC为∠DAB的平分线， ∴∠DAC=∠BAC， ∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠OCA， ∴OC∥AD， ∵AD⊥CD， ∴OC⊥CD，

则CD与圆O相切；

（2）连接EB，交OC于F，

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∵E为∴

=

的中点， ，

∴AE=EC，

∴∠EAC=∠ECA， 又∵∠EAC=∠OAC， ∴∠ECA=∠OAC， ∴CE∥OA， 又∵OC∥AD，

∴四边形AOCE是平行四边形， ∴CE=OA，AE=OC， 又∵OA=OC=1，

∴四边形AOCE是菱形，

∵AB为直径，得到∠AEB=90°， ∴EB∥CD，

∵CD与⊙O相切，C为切点， ∴OC⊥CD， ∴OC∥AD，

∵点O为AB的中点， ∴OF为△ABE的中位线， ∴OF=AE=，即CF=DE=，

在Rt△OBF中，根据勾股定理得：EF=FB=DC=则S阴影=S△DEC=××

=

．

，

【点评】此题考查了切线的判定，以及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键． 22．（12分）

【考点】反比例函数综合题． 【分析】（1）根据点E是AB中点，可求出点E的坐标，将点E的坐标代入反比例函数解析式可求出k的值，再由点F的横坐标为4，可求出点F的纵坐标，继而得出答案；

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