2019-2020年北京市大兴区九年级上册期末数学试卷(有答案)

∴，

∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACB．

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=120°，求BC的长．

【分析】过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出BD，利用等腰三角形的性质即可解决问题．

【解答】解：过点A作AD⊥BC于D．

∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°， BC=2BD，

在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=8， cosB=

，

=4

，

∴BD=ABcos30°=8×∴BC=8

．

【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

21．（5分）已知：如图，⊙O的直径AB的长为5cm，C为⊙O上的一个点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BD的长．

【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，再根据角平分线的定义可得∠DAC=∠BCD，然后求出AD=BD，再根据等腰直角三角形的性质其解即可； 【解答】解：∵AB为直径， ∴∠ADB=90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴

=

．

∴AD=BD，

在等腰直角三角形ADB中， BD=ABsin45°=5×∴BD=

．

=

，

【点评】本题考查了直径所对的圆周角等于直角，等腰直角三角形的判定与性质，关键是根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°．

22．（5分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：

（1）在地面上选定点A，B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；

（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA=35°，∠ECB=45°．请你sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°根据以上数据计算出CD的长．（可能用到的参考数据：≈0.70）

【分析】设CD=，在Rt△CDB中，CD=BD=，在Rt△CDA中tan∠CAD=，根据图中的线段

关系可得AD=AB+BD，进而可得9+=，再解即可．

【解答】解：由题意可知：CD⊥AD于D， ∠ECB=∠CBD=45°， ∠ECA=∠CAD=35°， AB=9． 设CD=，

∵在Rt△CDB中，∠CDB=90°，∠CBD=45°， ∴CD=BD=，

∵在Rt△CDA中，∠CDA=90°，∠CAD=35°， ∴tan∠CAD=∴AD=

， ，

∵AB=9，AD=AB+BD， ∴9+=

，

解得 =21，

答：CD的长为21米．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．

23．（5分）已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料．当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？

【分析】设AM的长为米，则MB的长为（2﹣）米，由题意得出y=2+（﹣2）2=2（﹣1）2+2，利用二次函数的性质求解可得．

【解答】解：设AM的长为米，则MB的长为（2﹣）米， 以AM和MB为边的两个正方形面积之和为y平方米．

根据题意，y与之间的函数表达式为y=2+（﹣2）2=2（﹣1）2+2， 因为2＞0

于是，当=1时，y有最小值，

所以，当AM的长为1米时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小．

【点评】本题考查了二次函数的最值，二次项系数a决定二次函数图象的开口方向． ①当a＞0时，二次函数图象向上开口，函数有最小值；②a＜0时，抛物线向下开口，函数有最大值．

24．（5分）已知：如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点（点D不与点A，B 重合），∠CAD=∠B

（1）求证：AC是半圆O的切线；

（2）过点O作BD的平行线，交AC于点E，交AD于点F，且EF=4，AD=6，求BD的长．

【分析】（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．欲证AC是半圆O的切线，只需证明∠CAB=90°即可；

（2）由相似三角形的判定定理AA可以判定△AEF∽△BAD；然后根据相似三角形的对应边成比例，求得BD的长即可． 【解答】解：（1）∵AB是半圆直径， ∴∠BDA=90°， ∴∠B+∠DAB=90°， 又∵∠DAC=∠B， ∴∠DAC+∠DAB=90°， 即∠CAB=90°，