人教版八年级上册数学第十二章全等三角形小结导学案

第十二章全等三角形小结导学案

一、学习目标：

1. 复习全等形与全等三角形的概念、全等三角形的判定定理，以及角平分线的作图方法和角平分线的性质等知识，建立知识系统；

2. 使学生总结寻找全等三角形及其全等条件的方法、归纳常见辅助线的作法，使学生掌握分析问题的方法，提升解题能力。 二、学习重点、难点：

学习重点：将所学知识科学地组织起来，将其纳入已有的知识结构中。 学习难点：提升分析问题、解决问题的能力。 三、本章知识结构图： 。

四、回顾与思考：

1、请你举一些生活中的全等形。 2、 全等三角形的概念及性质； 3、 三角形全等的判定； 4、 角平分线的性质及判定

5、你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？

知识点一：证明三角形全等的思路

通过对问题的分析，将解决的问题归结到证明某两个三角形的全等后，采用哪个全等判定定理加以证明，可以按下图思路进行分析：

??找夹角?SAS???已知两边?找第三边?SSS?找直角?HL?????边为角的对边?找任一角?AAS???找夹角的另一边?SAS?? 已知一边一角???边为角的邻边找夹边的另一角?ASA????找边的对角?AAS???????找夹边?ASA?已知两角???找任一对边?AAS??切记：“有三个角对应相等”和“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等。 例1. 如图，A,F,E,B四点共线，AC?CE，BD?DF，AE?BF，AC?BD。求证：?ACF??BDE。

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思路分析：从结论?ACF??BDE入手，全等条件只有AC?BD；由AE?BF两边同时减去EF得到

AF?BE，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是CF?DE，也可以是?A??B。

知识点二：构造全等三角形

例2. 如图，在?ABC中，BE是∠ABC的平分线，AD?BE，垂足为D。求证：?2??1??C。

思路分析：直接证明?2??1??C比较困难，我们可以间接证明，即找到??，证明?2???且????1??C。也可以看成将?2“转移”到??。

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例3. 如图，在?ABC中，AB?BC，?ABC?90。F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE?BF，连接AE,EF和CF。求证：AE?CF。

思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段AE为边的?ABE绕点B顺时针旋转90到?CBF的位置，而线段CF正好是?CBF的边，故只要证明它们全等即可。

知识点三：常见辅助线的作法 1. 连接四边形的对角线

解题后的思考：连接四边形的对角线，是构造全等三角形的常用方法。

2. 作垂线，利用角平分线的知识

例5. 如图，AP,CP分别是?ABC外角?MAC和?NCA的平分线，它们交于点P。求证：BP为?MBN的平分线。

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思路分析：要证明“BP为?MBN的平分线”，可以利用点P到BM,BN的距离相等来证明，故应过点P向BM,BN作垂线；另一方面，为了利用已知条件“AP,CP分别是?MAC和?NCA的平分线”，也需要作出点P到两外角两边的距离。

例6. 如图，D是?ABC的边BC上的点，且CD?AB，?ADB??BAD，AE是?ABD的中线。求证：AC?2AE。

思路分析：要证明“AC?2AE”，不妨构造出一条等于2AE的线段，然后证其等于AC。因此，延长AE至F，使EF?AE。

解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。

4. “截长补短”构造全等三角形

例7. 如图，在?ABC中，AB?AC，?1??2，P为AD上任意一点。求证：AB?AC?PB?PC。

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思路分析：欲证AB?AC?PB?PC，不难想到利用三角形中三边的不等关系来证明。由于结论中是差，故用两边之差小于第三边来证明，从而想到构造线段AB?AC。而构造AB?AC可以采用“截长”和“补短”两种方法。

解答过程：法一：

在AB上截取AN?AC，连接PN 在?APN与?APC中 ??AN?AC??1??2 ??AP?AP??APN??APC(SAS) ?PN?PC

在?BPN中，PB?PN?BN

?PB?PC?AB?AC，即AB－AC>PB－PC。

法二：

延长AC至M，使AM?AB，连接PM 在?ABP与?AMP中 ??AB?AM??1??2 ??AP?AP??ABP??AMP(SAS)

?PB?PM

在?PCM中，CM?PM?PC ?AB?AC?PB?PC。

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