范德蒙行列式的推广和应用

2n?1?k1?x?x1?1?x2?1???xn?1?1?2n?1?k2?x?x1?2?x2?2???xn?1?2 ? ?1?

????2n?1??kn?x?x1?n?x2?n???xn?1?n因为方程组?1?的系数行列式是范德蒙行列式，且D?组?1?有唯一解，故是e,?,?2,??n?1的线性组合。

（2）充分性 因为 ???ai

i?1n1?j?i?n???i??j?，所以方程

所以

n?11?1??1?11?2??n2??，????，????????a,a,?,a?n?112n??1?n??1??nn

并且

n?11?1??1?11?2??n2??1?n??1??nn?1?j?i?n???i??j??0，

n?11?1??1?11?2??n2所以 是可逆矩阵，又因为是V的一组基，?,????,?，?n?1???线性无

????11?n??nn关。

必要性

设e1,e2,?,en是分别属于?1,?2,?,?n的特征向量，则e1,e2,?,en构成V的一个基，因而有??k1e1?k2e2???knen. 若ki?0,i?1,2,?,n,则kiei是?的属于?i的特征向量，故结论成立。

若存在j??使kj?0,不妨设k1,k2,?,kr全不为零，1,2,?n?，kr?1???kn?0，因而有??k1e1?k2e2???krer，则

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k1k1?1?kr?rn?1?k1?1??，????，????????e,e,?,e?n?112nk2?kr?1k2?2?k2?n2??1?kr?nr??e1,e2,?er??A

利用范德蒙行列式可知A有一个r阶子式不为零，所以R?A??r，从而,又因为

??r?n线性无关，所以??，????，n?1????线性无关，矛盾，从而???ai.

i?1n4.5范德蒙行列式在数列拆项中的应用

设{an}是等差数列，公差d?0，则当n?2时，有

02n?1cnc1cn11ncn?1?1n?1?1?(?????(?1))； n?1a1a2?an(n?1)!da1a2a3an将此拆项公式推广之后，我们会发现拆项公式与范德蒙行列式有着密切的关系。

设an1,an2,?,ank是等差数列{an}中任意k个数,公差d?0，

11?因为

an1an2(n2?n1)d?11???? ，所以： aa?n2??n1?1111?[?]an1an2an3(n3?n1)dan1an2an2an3? ?1111111[(?)?(?)](n3?n1)d(n2?n1)dan1an2(n3?n2)dan2an3n3?n2n3?n1n2?n11[??]

(n3?n1)(n3?n2)(n2?n1)d2an1an2an3V2(n2,n3)V2(n1,n3)V2(n1,n2)1[??]2V3(n1,n2,n3)dan1an2an3?其中V3(n1,n2,n3)是关于n1,n2,n3的3阶范德蒙行列式，

V2(n2,n3),V2(n1,n3),V2(n1,n2)分别是关于n2,n3;n1,n3;n1,n2的2阶范德蒙行列式。

一般的，因为

ank?an1(n?n)d11， ???k1an1an2?ank?1an2an3?ankan1an2?ankan1an2?ank所以

1111?[?].

an1an2?ank(nk?n1)dan1an2?ank?1an2an3?ank..

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故我们猜想上式拆成k项和时，也与k阶范德蒙行列式和k?1阶范德蒙行列式产生关联。

定理5 设an1,an2,?,ank是等差数列{an}中任意k个数，公差d?0，则

1111?(?)an1an2?anm?1(nm?1?n1)dan1an2?anman2an3?anm?1?????Vm?1(n2,n3,?,nm)11{[(nm?1?n1)dVm(n1,n2,?,nm)dm?1an1Vm?1(n1,n3,?,nm)V(n,n,?,nm?1)???(?1)m?1m?112]an2anmVm?1(n3,n4,?,nm?1)1[Vm(n2,n3,?,nm?1)dm?1an2Vm?1(n2,n4,?,nm?1)V(n,n,?,nm)???(?1)m?1m?123]}an3anm?11(nm?1?n1)(nm?1?n2)?(nm?1?nm)Vm(n1,n2,?,nm)dmV(n,n,?,nm){(nm?1?n2)(nm?1?n3)?(nm?1?nm)[m?123an1V(n,n,?,nm)V(n,n,?,nm?1)?m?113???(?1)m?1m?112]an2anmV(n,n,?,nm?1)?(n2?n1)(n3?n1)?(nm?n1)[m?134an2???Vm?1(n2,n4,?,nm?1)V(n,n,?,nm)??(?1)m?1m?123]}an3anm?1Vm(n2,n3,?,nm?1)1[Vm?1(n1,n2,?,nm?1)d(m?1)?1an1Vm(n1,n3,?,nm?1)V(n,n,?,nm)???(?1)mm12]an2anm?1

即k?m?1时结论也成立；故由归纳原理知，结论对任意正整数都成立。 4.6范德蒙行列式在多项式理论中的应用

在多项式理论中，涉及到求根问题的有许多.在分析有些问题时，范德蒙行列式能够起到关键作用的，若能够熟练有效地运用范德蒙行列式，则对我们最终解决问题会有直接的帮助。

例8 证明: 一个n次多项式至多有n个互异根。

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证明：不妨设n?0，如果f?x??a0?a1x?a2x2???anxn ，有n?1个互异的零点x1,x2,?xn,xn?1，则有f?x??a0?a1xi?a2xi???anxi?0,1?i?n?1；即

2n?a0?a1x1?a2x12???anx1n?0?2n?a0?a1x2?a2x2???anx2?0 ?，

????2n??a0?anxn?1?a2xn?1???anxn?1?0这个关于a0,a1,?,an的齐次线性方程组的系数行列式是范德蒙行列式

11?x1x2?x122x2???x1nnx2? ?1?j?i?n??xi?xj??0

1xn?12nxn?xn?1?1因此方程组只有零解，即a0?a1???an?0，这个矛盾表明，f?x?至多有n个互异根。

例 9 证明：对平面上n个点?ai,bi??1?i?n?，其中a1,a2,?an互不相等,则必存在唯一的一个次数不超过n?1的多项式f?x?通过该n个点?ai,bi??1?i?n?，即

f?ai??bi?1?i?n?。

证明：设f?x??c1xn?1?c2xn?2???cn?1x?cn，要使f?ai??bi?1?i?n?，即满足关于c1,c2?cn的线性方程组：

?a1n?1c1?a1n?2c2???a1cn?1?cn?b1?n?1n?2?a2c1?a2c2???a2cn?1?cn?b2， ????n?1n?2??anc1?anc2???ancn?1?cn?bn而该方程组的系数行列式为范德蒙行列式：

a1n?1n?1a2a1n?2?n?2a2?a1a2?an11? 1D??n?1an?1n?1an?n?2an?n?2an?an?11?1当a1,a2,?,an互不相等时该行列式不为零，由Cramer定理知方程组有唯一解，即对平面上n个点?ai,bi??1?i?n?，其中a1,a2,?an互不相等，则必存在唯一的一个次数不超过n?1的多项式f?x?通过该n个点。

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