范德蒙行列式的推广和应用

?3?若将范德蒙行列式Dn旋转180?，可得

n?1an?n?1an?a1n?1?1??an1an?1?1?a11?Dn

3 范德蒙行列式的推广

3.1 跳行范德蒙行列式

跳行范德蒙行列式为如下形式：

1a1a12detV1??a1k?1a1k?1?a1n1a22a21???1an2an??k?1k?1a2?ank?1k?1a2?an，

?na2???nan为了计算该行列式，构造多项式f?x?如下：

1a1a12?f?x??a1k?1a1ka1k?1?a1n1a22a2?k?1a2ka21an2an?k?1?ank?an???1xx2?xk?1 xkxk?1?xnk?1k?1a2?an??nna2?an??a2?a1???a3?a1???an?a1???x?a1???a3?a2???an?a2???x?a2???x?an?

??x?a1???x?a2???x?an?1?j?i?n??a?a?.

ijk?1?n?1该行列式中第k行、第n?1列元素xk的代数余子式为

detAk?1,n?1???1?detV1???1?k?ndetV1 ，

由?1?式可得xk的系数为

.. 3

??1?n?kp1p2?pn?k?xp1xp2?xpn?k1?j?i?n??a?a?,k?0,1,2,?n，

ij其中p1,p2,p3,?,pn?k是1,2,3,?n中?n?k?个数的一个排列，有n?k阶排列的和。

比较xk的系数可得detV1?p1p2?pn?kp1p2?pn?k?表示所

?xp1xp2?xpn?k1?j?i?n??a?a?；k?0,1,2,?n。

ij特别的，当k?n并取xp1?1时，即可得范德蒙行列式。 3.2 合流范德蒙行列式

给定t个互不相等的数?1,?2,??t和正整数n1,n2,?nt，记

n??ni，v?x???1,x,x2?,xn?1?，

Tti?1我们称如下形式的n阶行列式：

detV1?v??1?,v'??1?,?v?n1?1???1?,?v??t?v'??t??v?nt?1???t? （2）

为合流范德蒙行列式，当t?n,且n1?n2???nt?1时，detVt是通常的范德蒙行列式。

定理1：n阶合流范德蒙行列式detV1???k!j?1k?0tnj?11?j?i?t??a?a?ijninj.

1n2足,t,?,满

T?证明:设n维向量aq?a,1qa2q?,,?a,qt?q?tt?1nn?,0,q0?q,??njj?a?v?x??aq1?aqx2???aqn?n,t?qxtqn?nt?q?1??x??t???x???j?1比较上式（2）边

1xn?nt?q?的系数，可知aq,n?nt?q?1，且或有

dk?1 a?k?1v?x?dxTqt?1nj?dk?1?q?1?x?ax?????j????x??tidxk?1?j?1?x??t （3）

?0,i?1,2,?,t?1;k?1,2,?,nt或i?t,k?q;?t?1=?，

q?1!???,i?t且k?q?????ij?j?1?构造n阶矩阵A?e1,?,e??n?nn?nt,a1,?,ant?T,其中ei?n?是第i个分量为1、其余分量

为0的n维列向量，则A是下三角矩阵。

.. 4

B??V由?3?式可得AVt??t?1，其中 ??OC??0!ct?1!ct?C??????njt?1?,c???t??j?， ?t?j?1??nt?1?!ct?nt?1t?1于是，有detVt?detAtdetV?det?AVt??detCdetV??k!???t??j?detVt?1；

K?0j?11利用上述递推公式，可得detVt?1!???k!.

k?0n1?1?n1?1?!4 范德蒙行列式的应用

4.1 范德蒙行列式在行列式计算中的应用

若Dn第i行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含相同分行（列）；且Dn中含有由n个分行（列）组成的范德蒙行列式，那么将Dn的第，消除一些分行（列），即可化成范德蒙行i行（列）乘以-1加到第(i?1)行（列）列式。

例 1 计算

1D?1?x1x1?x12x12?x1311?x22x2?x223x2?x211?x32x3?x323x3?x311?x42x4?x423x4?x4

解：将D的第一行的??1?倍加到第二行得：

1x1x1?x12x12?x131x22x2?x223x2?x21x32x3?x323x3?x31x42x4?x423x4?x4

再将上式得第二行的??1?倍加到第三行得：

.. 5

1x1x211x2x2223x2?x21x3x2323x3?x31x4x2423x4?x4

x12?x13再将上式的第三行的??1?倍加到第四行得：

1111x1x2x3x4x21x22x23x2 4x31x32x33x34即为范德蒙行列式。

1111所以 ，D?1?x11?x21?x31?x4x2x2?ixj?1?x12?x2xx23?3x24?x41???x?j?i?4x231?x1x232?x2x2x33?3x234?x4例 2 计算

11?1a1a1?an2Da22?a2nn?a1???

an?21an?2n?22?anan1an2?ann?1?当a1,a2,?an中至少有两个相等，则Dn?0；

?2?当a1,a2,?an各不相等时，因为行列互换行列式不变，所以

1a1a21?an?21an1D?1a2a2n?22?a2an2n????? 1ana2n?2ann?ann?x1?a1x2?a21xn?23???a1xn?1?an?1n?1xn?a12构造线性方程组 ??xxn?2n?1n1?a22?a2x3???a2xn?1?a2xn?a2 ????x1?a2n?2n?1nnx2?anx3???anxn?1?anxn?an由于方程组?1?的系数行列式D?1???ai?aj??0

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