范德蒙行列式的推广和应用

目 录

1引言 ................................................................................................................................................ 1 2范德蒙行列式的基本性质 ................................................................................................ 1

2.1范德蒙行列式的证明 ............................................................................................................. 1 2.2范德蒙行列式的性质 ............................................................................................................. 2

3范德蒙行列式的推广........................................................................................................... 3

3.1跳行范德蒙行列式................................................................................................................ 3 3.2合流范德蒙行列式................................................................................................................ 4

4范德蒙行列式的应用........................................................................................................... 5

4.1范德蒙行列式在行列式计算中的应用 ................................................................................ 5 4.2范德蒙行列式在微积分中的应用 ........................................................................................ 7 4.3范德蒙行列式在向量空间理论中的应用 ............................................................................ 9 4.4范德蒙行列式在线性变换理论中的应用 .......................................................................... 10 4.5范德蒙行列式在数列拆项中的应用 .................................................................................. 12 4.6范德蒙行列式在多项式理论中的应用 .............................................................................. 13

5结 论 ........................................................................................................................................... 15 参考文献 ....................................................................................................................................... 16 致 谢 .......................................................................................................................................... 17

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范德蒙行列式的推广和应用

Xxxxxx系本xxxxx班 xxxxxx

指导教师： xxxxxxx

摘 要：范德蒙行列式是线性代数中著名的行列式，它构造独特、形式优美，更由于它有广泛的应用，因而成为一个著名的行列式。它的证明过程是典型行列式定理及数学归纳法的综合应用。本文通过对n阶范德蒙行列式的计算, 讨论它的各种位置变化规律, 介绍了如何构造范德蒙行列式进行行列式计算，以及探讨了范德蒙行列式在向量空间理论、线性变换理论以及微积分中的应用。

关键词：范德蒙行列式，向量空间理论，线性变换理论，微积分，等差数列拆项。

Application and Popularization of Vandermonde

determinant

Xxxxxxxxxxxxxx

Class xxxxx, Mathematics Department

Tutor: xxxxxxxxxxxxx

Abstract：Vandermonde determinant is the determinant of well-known in linear algebra, which constructs a unique form of beauty, but the more because it has a wide range of applications, and thus become a well-known determinant. It's proof process is typical determinant theorem and comprehensive application of mathematical induction. This article will through the n-order Vandermonde Determinant of calculation and discussing the variation of its various locations,descryibes how to construct a Vandermonde determinant of the determinant calculation, as well as to explore the Vandermonde determinant of applications in the theory of vector spaces, linear transformation theory and infinitesimal calculus.

Key words: Vandermonde determinant,theory of vector spaces,linear

transformation theory,infinitesimal calculus.

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1引言

行列式是由解线性方程组产生的一种算式，其定义域为数域P上的n?n的矩阵的全体构成的集合，取值为一个标量，写作det?A?或 A. 行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广，或者说，在n维欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。作为一种特殊的行列式——范德蒙行列式，是一类很重要的行列式。

范德蒙行列式作为一种重要的行列式，在计算的过程中可以将一些特殊的或者近似于范德蒙行列式的行列式转化为范德蒙行列式，从而能够简化计算，有利于行列式的计算。范德蒙行列式的应用也比较广泛，不仅应用于一些行列式的计算当中，而且它可以应用于证明行列式的问题和一些关于多项式方面以及某些特征向量线性无关等问题上。

2 范德蒙行列式的基本性质

我们首先来介绍范德蒙行列式的定义及其计算方法，形如行列式

1a11a22a21?aa?13231anan2 （1） ?1??? Dn?a12?a1n?1?an2?1an?3n??an称为n阶的范德蒙（Vandermonde）行列式。

接下来我们证明，对任意的n?n?2?，n阶范德蒙行列式的结果为2.1 范德蒙行列式的证明

用数学归纳法证明范德蒙德行列式，我们对n作归纳法： （1）当n?2时，

1a11?a2?a1结果是对的。 a21?j?i?n??a?a?.

ij（2）假设对于n?1级的范德蒙行列式结论成立，现在来看n级的情况。在

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1a12 d?a1?a1n?11a22a21?a3?2a3?nn1aa2 ?n?1an?n?1a2??n?1a3?中，第n行减去第n?1行的a1倍，第n?1行减去第n?2行的a1倍，也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的a1倍，有

10d?0?1a2?a12a2?a1a21a3?a12a3?a1a3????1an?a12an?a1an

???n?1n?20a2?a1a2n?1n?2n?1n?2a3?a1a3?an?a1ana2?a1a3?a12a3?a1a3???an?a12an?a1an=

2a2?a1a2?n?1n?2a2?a1a2??

n?1n?2n?1n?2a3?a1a3?an?a1an1a11a22a21a32a3????1an2an ???a2?a1???a3?a1???an?a1?a12?a1n?22.2 范德蒙行列式的性质

利用行列式的性质容易推得：

?n?2a2?n?2n?2a3?an ?1?若将范德蒙行列式Dn逆时针旋转90?,可得

1ann?1?ann?1n?n?1?1an?1?an?1???1?2Dn

???1a1?a1n?1 ?2?若将范德蒙行列顺时针旋转90?，可得

a1n?1?a11n?1a2?a21?n?1an???an1???1?n?n?1?2Dn

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