2018 - 2019学年高中数学第一章三角函数4.4单位圆的对称性与诱导公式一学案北师大版必修4

4.4 单位圆的对称性与诱导公式(一)

学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关的诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.

知识点 2kπ±α，－α，π±α的诱导公式

思考1 设α为任意角，则2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α的终边与α的终边有怎样的对应关系？ 答案 它们的对应关系如表：

相关角 2kπ＋α与α π＋α与α －α与α 2π－α与α π－α与α

思考2 2kπ＋α，π＋α，－α，2kπ－α，π－α终边和单位圆的交点与α的终边和单位圆的交点有怎样的对称关系？试据此分析角α与－α的正弦函数、余弦函数的关系. 答案 它们交点间对称关系如表：

相关角 2kπ＋α与α π＋α与α －α与α 2π－α与α π－α与α

设角α与角－α终边与单位圆的交点分别为P和P′，因为P和P′关于x轴对称，所以点P和P′的横坐标相等，纵坐标的绝对值相等且符号相反，即sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.

终边与单位圆的交点间对称关系 重合 关于原点对称 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 终边之间的对称关系 终边相同 关于原点对称 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 1

梳理 对任意角α，有下列关系式成立： sin(2kπ＋α)＝sin α，

cos(2kπ＋α)＝cos α (1.8)

cos(－α)＝cos α sin(－α)＝－sin α， sin(2π－α)＝－sin α， sin(π－α)＝sin α，

(1.9) (1.10)

cos(2π－α)＝cos α cos(π－α)＝－cos α (1.11)

cos(π＋α)＝－cos α (1.12)

sin(π＋α)＝－sin α，

公式1.8～1.12叫作正弦函数、余弦函数的诱导公式.

这五组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号.

1.sin(α－π)＝sin α.( × )

提示 sin(α－π)＝sin[－(π－α)]＝－sin(π－α)＝－sin α. 41

2.cos π＝－.( √ )

32

π?4ππ1?提示 cos ＝cos?π＋?＝－cos ＝－.

3?332?3.诱导公式对弧度制适用，对角度制不适用.( × ) 提示 在角度制和弧度制下，公式都成立.

类型一 给角求值问题

例1 求下列各三角函数式的值.

11π?43π?；(4)cos(－1 920°).

(1)cos 210°；(2)sin ；(3)sin?－?6?4?考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题

解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°)＝－cos 30°＝－

3

. 2

3π?π?11π3ππ2??(2)sin ＝sin?2π＋?＝sin ＝sin?π－?＝sin ＝. 4?4?4442??

2

?43π?＝－sin?6π＋7π?＝－sin 7π＝－sin?π＋π?＝sin π＝1. (3)sin?－?????6?6?6?662???

(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°＝cos(5×360°＋120°) 1＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－. 2反思与感悟 利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤 (1)“负化正”：用公式1.9来转化.

(2)“大化小”：用公式1.8角化为0°到360°间的角.

(3)“角化锐”：用公式1.10或1.11将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.

?31π?.

(1)sin 1 320°； (2)cos?－?6??

考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题

解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－3

. 2

方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－3. 2

?31π?＝cos 31π＝cos?4π＋7π?＝cos?π＋π?＝－cos π＝－3. (2)方法一 cos?－??6?6?6?662???????31π?＝cos?－6π＋5π?＝cos?π－π?＝－cos π＝－3. 方法二 cos?－??6?6?6?62??????

类型二 给值(式)求值问题

例2 (1)已知sin(π＋α)＝－0.3，则sin(2π－α)＝ . 2?π??5π?(2)已知cos?－α?＝，则cos?＋α?＝ .

?6?2?6?考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 (1)－0.3 (2)－2

2

解析 (1)∵sin(π＋α)＝－sin α＝－0.3，∴sin α＝0.3，∴sin(2π－α)＝－sin α＝－0.3.

3

(2)cos?

?5π＋α?＝cos?π－?π－α??＝－cos?π－α?＝－2. ???6???6?2?6???????

反思与感悟 解决给值(式)求值问题的关键是抓住已知角与所求角之间的关系，从而灵活选择诱导公式求解，一般可从两角的和、差的关系入手分析，解题时注意整体思想的运用. 1

跟踪训练2 (2017·大同检测)已知sin β＝，cos(α＋β)＝－1，则sin(α＋2β)的值

3为( )

11

A.1 B.－1 C. D.－ 33考点 利用诱导公式求值 题点 给值(式)求值问题 答案 D

解析 由cos(α＋β)＝－1，得α＋β＝2kπ＋π(k∈Z)， 则α＋2β＝(α＋β)＋β＝2kπ＋π＋β(k∈Z)，

1

sin(α＋2β)＝sin(2kπ＋π＋β)＝sin(π＋β)＝－sin β＝－. 3类型三 利用诱导公式化简

sin?－2π－α?cos?6π－α?

例3 化简：.

cos?α－π?sin?5π－α?考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简

sin?－α?cos?－α??－sin α?cos α

解 原式＝＝＝1.

cos?π－α?sin?π－α??－cos α?sin α引申探究

sin?nπ－α?cos?nπ－α?

若本例改为：(n∈Z)，请化简.

cos[α－?n＋1?π]·sin[?n＋1?π－α]解 当n＝2k时，

?－sin α?·cos α原式＝＝1；

－cos α·sin α当n＝2k＋1时，

sin α·?－cos α?原式＝＝1.综上，原式＝1.

cos α·?－sin α?

反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值.

cos?π＋α?·sin?2π＋α?

跟踪训练3 化简：.

sin?－α－π?·cos?－π－α?考点 利用诱导公式化简

4

题点 利用诱导公式化简

解 原式＝－cos α·sin α－sin?π＋α?·cos?π＋α?＝cos α·sin α

sin α·cos α

＝1.

1.sin 585°的值为( ) A.－22 B.22 C.－3D.

32

2

考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题 答案 A

解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22

. 2.cos??16π?－3???＋sin???

－16π3???的值为( ) A.－1＋3B.1－32

2

C.

3－1

2

D.

3＋1

2

考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题 答案 C

解析 原式＝cos 16π16π4π3－sin 3＝cos 4πππ3－1

3－sin 3＝－cos 3＋sin 3＝2.

3.如果α＋β＝180°，那么下列等式中成立的是( ) A.cos α＝cos β B.cos α＝－cos β C.sin α＝－sin β D.sin α＝cos β

考点 利用诱导公式化简 题点 利用诱导公式化简 答案 B

4.sin 750°＝ . 考点 利用诱导公式求值 题点 给角求值问题

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