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2010-2019高考数学理科真题分类汇编专题十五 坐标系与参数方程第四十一讲坐标系与参数方程含答案

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|OP|??,|OM|??1?4. cos?由|OM|?|OP|?16得C2的极坐标方程??4cos?(??0). 因此C2的直角坐标方程为(x?2)?y?4(x?0).

(2)设点B的极坐标为(?B,?)(?B?0).由题设知|OA|?2,?B?4cos?,于是

22?OAB面积

S?1|OA|??B?sin?AOB 2?4cos?|sin(??)|

3??3?2|sin(2??)?|

32≤2?3.

当????12时,S取得最大值2?3.

所以?OAB面积的最大值为2?3.

13.【解析】(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y?k?x?2?;

消去参数m得l2的普通方程l2:y?1?x?2?. k?y?k?x?2??设P(x,y),由题设得?,消去k得x2?y2?4?y?0?. 1?y??x?2?k?所以C的普通方程为x2?y2?4?y?0?

(2)C的极坐标方程为?2cos2??sin2??4?0<?<2?,????

222????cos??sin???4联立?得cos??sin?=2?cos?+sin??.

????cos?+sin??-2=0??故tan???19122,从而cos?=,sin?= 31010代入?2cos2?-sin2?=4得?=5,所以交点M的极径为5.

??214.【解析】直线l的普通方程为x?2y?8?0.

因为点P在曲线C上,设P(2s2,22s), 从而点P到直线l的的距离d?|2s2?42s?8|(?1)2?(?2)22(s?2)2?4?,

5当s?2时,dmin?45. 5因此当点P的坐标为(4,4)时,曲线C上点P到直线l的距离取到最小值?x?acost15.【解析】(1)?(t均为参数)

y?1?asint?45. 5∴x2??y?1??a2 ①

21?为圆心,a为半径的圆.方程为x2?y2?2y?1?a2?0 ∴C1为以?0,∵x2?y2??2,y??sin? ∴?2?2?sin??1?a2?0 (2)C2:??4cos?

两边同乘?得?2?4?cos?即为C1的极坐标方程

?2?x2?y2,?cos??x

?x2?y2?4x 即?x?2??y2?4 ②

2C3:化为普通方程为y?2x,由题意:C1和C2的公共方程所在直线即为C3

①—②得:4x?2y?1?a2?0,即为C3 ∴1?a2?0,∴a?1

16.【解析】(Ⅰ)整理圆的方程得x2?y2?12?11?0,

??2?x2?y2?由??cos??x可知圆C的极坐标方程为?2?12?cos??11?0. ??sin??y?(Ⅱ)记直线的斜率为k,则直线的方程为kx?y?0,

?10??25??由垂径定理及点到直线距离公式知:?2??, 21?k???6k251536k2902即,整理得,则. k?k???231?k43x2?y2?1,C2的直角坐标方程为x?y?4?0. 17.【解析】(Ⅰ)C1的普通方程为3(Ⅱ)由题意,可设点P的直角坐标为(3cos?,sin?),因为C2是直线, 所以|PQ| 的最小值,即为P到C2的距离d(?)的最小值,

d(?)?|3cos??sin??4|??2|sin(??)?2|.

32当且仅当??2k???6(k?Z)时,d(?)取得最小值,最小值为2, 3122此时P的直角坐标为(,).

1?x?1?t2?y2?2?1,将直线l的参数方程?18.【解析】椭圆C的普通方程为x?, 4?y?3t??2(32t)2?1,即7t2?16t?0, 4代入x?21y?1,得(1?t)2?42216. 716所以AB?|t1?t2|?.

7解得t1?0,t2??19.【解析】(Ⅰ)因为x??cos?,y??sin?,

∴C1的极坐标方程为?cos???2,C2的极坐标方程为

?2?2?cos??4?sin??4?0.

(Ⅱ)将?=?422代入??2?cos??4?sin??4?0,得??32??4?0,

解得?1=22,?2=2,|MN|=?1-?2=2, 因为C2的半径为1,则C2MN的面积

11?2?1?sin45o=. 2220.【解析】(Ⅰ)曲线C2的直角坐标方程为x?y?2y?0,曲线C3的直角坐标方程为

22?x???x?0,??x?y?2y?0,?22x?y?23x?0.联立?解得?或?22??y?0,?y??x?y?23x?0,??223,2 3,2所以C2与C1交点的直角坐标为(0,0)和(33,). 22(Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为???(??R,??0),其中0????. 因此A得到极坐标为(2sin?,?),B的极坐标为(23cos?,?). 所以AB?2sin??23cos??4sin(??当???3),

5?时,AB取得最大值,最大值为4. 621.【解析】 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点?,以极轴为x轴的正半轴,建

立直角坐标系xoy.

?2?2圆C的极坐标方程为??22???2sin??2cos????4?0,

??2化简,得??2?sin??2?cos??4?0.

则圆C的直角坐标方程为x?y?2x?2y?4?0, 即?x?1???y?1??6,所以圆C的半径为6.

222.【解析】(Ⅰ)由??23sin?,得??23?sin?,

22222从而有x+y?23y,所以x+y?3222??2?3.

(Ⅱ)设P(3+13t,t),又C(0,3), 2222?1??3?2则|PC|??3?t???t?3?t?12, ???2??2??故当t=0时,|PC|取最小值,此时P点的直角坐标为(3,0).

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|OP|??,|OM|??1?4. cos?由|OM|?|OP|?16得C2的极坐标方程??4cos?(??0). 因此C2的直角坐标方程为(x?2)?y?4(x?0). (2)设点B的极坐标为(?B,?)(?B?0).由题设知|OA|?2,?B?4cos?,于是22?OAB面积 S?1|OA|??B?sin?AOB 2?4cos?|sin(??)| 3??3?2|sin(2??)?| 32≤2?3. 当????12时,S取得最大值2?3. 所以?OAB面积的最大值为2?3. 13.【解析】(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y?k?x?2?; 消去参数m得l2的普通方程l2:y?1?x?2?. k?y?k?x?2??设P(x,y),由题设得?,消去k得x2

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