中考数学—平行四边形的综合压轴题专题复习附详细答案

在四边形ABCD中，BA＝BC，DC⊥AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E，M是边AD的中点，连接MB，ME. 特例探究

(1)如图1，当∠ABC＝90°时，写出线段MB与ME的数量关系，位置关系； (2)如图2，当∠ABC＝120°时，试探究线段MB与ME的数量关系，并证明你的结论； 拓展延伸

(3)如图3，当∠ABC＝α时，请直接用含α的式子表示线段MB与ME之间的数量关系．

tan【答案】(1)MB＝ME，MB⊥ME；(2)ME＝3MB．证明见解析；(3)ME＝MB·【解析】 【分析】

（1）如图1中，连接CM．只要证明△MBE是等腰直角三角形即可； （2）结论：EM=3MB．只要证明△EBM是直角三角形，且∠MEB=30°即可； （3）结论：EM=BM?tan【详解】

(1) 如图1中，连接CM．

?2.

?2．证明方法类似；

∵∠ACD=90°，AM=MD， ∴MC=MA=MD， ∵BA=BC， ∴BM垂直平分AC， ∵∠ABC=90°，BA=BC，

1∠ABC=45°，∠ACB=∠DCE=45°， 2∵AB∥DE，

∴∠ABE+∠DEC=180°， ∴∠DEC=90°，

∴∠DCE=∠CDE=45°， ∴EC=ED，∵MC=MD，

∴∠MBE=

∴EM垂直平分线段CD，EM平分∠DEC， ∴∠MEC=45°，

∴△BME是等腰直角三角形， ∴BM=ME，BM⊥EM． 故答案为BM=ME，BM⊥EM． (2)ME＝3MB．

证明如下：连接CM，如解图所示．

∵DC⊥AC，M是边AD的中点， ∴MC＝MA＝MD． ∵BA＝BC， ∴BM垂直平分AC． ∵∠ABC＝120°，BA＝BC，

1∠ABC＝60°，∠BAC＝∠BCA＝30°，∠DCE＝60°. 2∵AB∥DE，

∴∠ABE＋∠DEC＝180°， ∴∠DEC＝60°，

∴∠DCE＝∠DEC＝60°， ∴△CDE是等边三角形， ∴EC＝ED． ∵MC＝MD，

∴EM垂直平分CD，EM平分∠DEC，

∴∠MBE＝∴∠MEC＝

1∠DEC＝30°， 2∴∠MBE＋∠MEB＝90°，即∠BME＝90°. 在Rt△BME中，∵∠MEB＝30°， ∴ME＝3MB．

(3) 如图3中，结论：EM=BM?tan

?． 2

理由：同法可证：BM⊥EM，BM平分∠ABC， 所以EM=BM?tan【点睛】

本题考查四边形综合题、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．

?． 2

12．问题探究

（1）如图①，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别是边BC、CD上两点，且BM＝CN，连接AM和BN，交于点P．猜想AM与BN的位置关系，并证明你的结论． （2）如图②，已知正方形ABCD的边长为4．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD方向向终点C和D运动．连接AM和BN，交于点P，求△APB周长的最大值； 问题解决

（3）如图③，AC为边长为23的菱形ABCD的对角线，∠ABC＝60°．点M和N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CA向终点C和A运动．连接AM和BN，交于点P．求△APB周长的最大值．

【答案】（1）AM⊥BN，证明见解析；（2）△APB周长的最大值4+42；（3）△PAB的周长最大值=23+4． 【解析】

试题分析：根据全等三角形的判定SAS证明△ABM≌△BCN，即可证得AM⊥BN； （2）如图②，以AB为斜边向外作等腰直角△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP，证明PA+PB=2EF，求出EF的最大值即可；

（3）如图③，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取PH=PB，证明PA+PB=PK，求出PK的最大值即可. 试题解析：（1）结论：AM⊥BN． 理由：如图①中，

∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠ABM=∠BCN=90°， ∵BM=CN， ∴△ABM≌△BCN， ∴∠BAM=∠CBN， ∵∠CBN+∠ABN=90°， ∴∠ABN+∠BAM=90°， ∴∠APB=90°， ∴AM⊥BN．

（2）如图②中，以AB为斜边向外作等腰直角三角形△AEB，∠AEB=90°，作EF⊥PA于E，作EG⊥PB于G，连接EP．

∵∠EFP=∠FPG=∠G=90°， ∴四边形EFPG是矩形， ∴∠FEG=∠AEB=90°， ∴∠AEF=∠BEG， ∵EA=EB，∠EFA=∠G=90°， ∴△AEF≌△BEG， ∴EF=EG，AF=BG， ∴四边形EFPG是正方形， ∴PA+PB=PF+AF+PG﹣BG=2PF=2EF， ∵EF≤AE， ∴EF的最大值=AE=2

，

．

∴△APB周长的最大值=4+4PH=PB．

（3）如图③中，延长DA到K，使得AK=AB，则△ABK是等边三角形，连接PK，取