09-10（二）高数测验及答案

《高等数学AII》模拟复习题一

lim一、单项选择题 1、设fx(x0, y0) 存在,则?x?0f(x0??x,y0)?f(x0??x,y0)?x= ( C ). (06~07期末)

A、fx(x0, y0) ; B、fx(2x0, y0)； C、2fx(x0, y0)； D、解:

1fx(x0, y0)； 2f(x0??x,y0)?f(x0??x,y0)f(x0??x,y0)?f(x0,y0)?f(x0,y0)?f(x0??x,y0)=lim

?x?0?x?0?x?xf(x0??x,y0)?f(x0,y0)f(x0??x,y0)?f(x0,y0)=lim(?)=2fx(x0, y0). ?x?0?x??xlimA、充分但不必要条件； B、充分必要条件； C、必要但不充分条件； D、既非充分也非必要条件.

2、函数z=f(x, y)在点(x, y)可微是函数z=f(x, y)在点(x, y)各偏导数存在的( A ). (06~07期末)

3、函数u=xy+yx ,则ux=( A ). A、 yxlny+yxy-1 ； B、xlnx+ylny； C、xy+yx； D、yxy-1+xyx-1；(06末选择题) 4、I=A、

?dy?02012y0?(x,y)dx+?dy?133?y0?(x,y)dx, 交换次序后得( C ). (04~05期末)

13?x23?x00?dx?y?(x,y)dy； B、?dx?x?(x,y)dy； C、?dx?x?(x,y)dy；

2223?y D、

?20dx?x23?x?(x,y)dy

二、填空题 1、设区域D由|x|=

12,|y|=

12,围成的图形,则??dxdy= 1；(06期末)

D2、u=xsiny, 则du= sinydx+xcosydy ；(06期末)

3、曲面ez+2xy-3=0在点(1,1,0)处切平面方程为 2x+2y+z-4=0 ;法线为

x?1y?1z??221 . (06~07期末)

解：令F=ez+2xy-3, Fx=2y, Fy=2x, Fz=ez , 在点M处切平面法向量n=(2, 2, 1). 切平面: 2(x-1)+2(y-1)+(z-0)=0; 或: 2x+2y+z-4=0; 法线:4、把二次积分?02ay?1zx?1??221.

?2dx?2ax?x20f(x,y)dy, (a>0) 化为极坐标系下的二次积分为 ?0d??02acos?f(ρcos?, ρsin?)ρdρ . (03, 04期末)

5、x3+y3-z3+(xyz)3-2=0确定函数z=(x,y),则zx|(1,0,-1)= 1 ；(04期末选择题) 解: 设F= x3+y3-z3+(xyz)3-2 , zx=?6、I=???zdv,?是z??3x2?3x2y3z3?3z2?3x3y3z2, zx|(1,0,-1)= 1 ；

2? 1 1x2?y2, z=1围成, 用柱面坐标化为三次积分是? 0d?? 0rdr? rzdz；

y2x2??1a2b27、若均匀薄片所占区域为D:三、计算题 1、计算I=? 0dy? y 1 1,其密度??1， 则其质量m= ?ab .

1?cosxdx. (06x末) (04末-改+) 解: I=? 0 1 x 11?cosxdx?dy=? 0 0x(1-cosx)dx=1-sin1.

2、设函数z=f(2x+3y, x+y), 其中f(u,v)有二阶连续偏导数,求zx, zy, zxy . (04, 06期末) 解: zx=2f1+f2; zy=3f1+f2; zxy=2(3f11+f12)+(3f21+f22)=6f11+5f12+f22; 3、计算I=??e?x?yD22dxdy, 其中D:x2+y2?a2 (a>0) . 解: I=? 0d?? 0e?r 2? a2rdr=2?(-

1?r2e2)|0=?(1-ea?a2).

四、解下列各题 1、设空间区域?是由z?x2?y2和z?8?x2?y2所围成,用柱面坐标计算三重积分I=???zdv.

? 2解: Dxy : x2+y2 ? 4, I=? 0d?? 0?d?? ? 2? 28??2zdz=?? 0(8??2?3)d?=8?. (06~07末)

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2、设物体占有空间区域?,?是由z?4?x2?y2和z?3(x2?y2)所围成,试分别用直角坐标系,柱面坐标系将三重积分

I=???f(x,y,z)dv化为三次积分. (04~05期末)

?解: Dxy : x2+y2 ? 1, 直角坐标系下: I=??1dx? ?柱面坐标系下: I=? 0d?? 0?d?? 2? 14??23? 1 1-x21-x2dy?4?x2?y2 3(x2?y2)f(x,y,z)dz;

f(ρcos?,ρsin?,z) dz;

《高等数学AII》模拟复习题二

一、单项选择题

1、设P(x,y),Q(x,y)在单连通区域G内具有一阶连续偏导数, 则Py=Qx是在G内任意闭曲线积分?Pdx+Qdy=0的( C ).

L(A)充分但不必要条件; (B) 必要但不充分条件; (C)充分必要条件; (D) 即非充分也非必要条件. 2、设L是x2+y2=9正向, 则I=?(2xy-2y)dx+(x2-4x)dy=( C ). (A)-2? ; (B) -9? ; (C) -18? ; (D) -36? .

L解: D由L所围. I=??D [(2x-4)-(2x-2)]d? =-??D 2d? =-18? .

3、设L为左半园周x2+y2=R2 (x?0), 将曲线积分?L(3x2-4y2)ds化为定积分的正确结果是( D ). (05~06期末) (A) ???R3(3cos2t-4sin2t)dt; (B) ??R3(3cos2t-4sin2t)dt ; (C) ?0R3(3cos2t-4sin2t)dt ; (D) ??2R3(3cos2t-4sin2t)dt;

200??3?4、设?是xOy平面内的一个闭区域Dxy ,则曲面积分??f (x, y, z)ds化为二重积分为( A). (04~05期末)

?A. ??f (x, y, 0)dxdy . B. ??f (0, y, z)dxdy C. ??f (x, 0, z)dxdy . D. ??f (x, y, 0)dxdy .

DxyDxyDxy?解: ?: z=0, zx=0, zy=0, ds=dxdy, ?在xOy面内的投影就是Dxy . 二、填空题

1、设平面曲线L为下半圆周y=-4?x2,则曲线积分?lnLx2?y2ds= 2? ln2 ；(05期末)

解: L: x2+y2=4 , I=?Lln2ds=ln2?L的弧长=2? ln2 . 2、设空间曲线L为???x2?y2?z2?a2?x?y?z?0?, 则曲线积分?L (x2+y2+z2)ds= 2? a3 ；

解: L满足: x2+y2+z2=a2 , I=?L a2ds=a2?L的弧长=2? a3 . 3、设f(x, y)在

x24+y?1具有二阶连续偏导数, L是

2

x24+y2=1顺时针方向,则?[3y+fx(x,y)]dx+fy(x,y)dy=6?.

L解: Qx-Py=fyx(x, y)-3-fxy(x, y)=-3, I=3??Ddxdy=3?2?=6?.

4、设?是由光滑曲面? 所围成的空间闭区域且体积为V, 则? 外侧的积分I=5、设L为xoy平面内直线y=4上一段，则?LQ（x,y)dy= 0 . 三、计算题： 1、计算?????(z-y)dxdy+(y-x)dxdz= 2V .

?1?4zds,其中? 是z=x2+y2上z?1的部分. (06~07期末)

1?4x2?4y2解: ? : z=x2+y2, D: x2+y2?1;ds=2、计算???dxdy;I=??D (1+4x2+4y2)dxdy=? 0d?? 0r(1+4r2)dr=3? .

2? 1xdydz?ydzdx?zdxdy(x2?y2?z2)1a332, 其中? 是球面x2+y2+z2=a2外侧.

解: 化I=

3xdydz+ydzdx+zdxdy , 再使用高斯公式. I=???3dv=4? . ??a?? 第2页 共4页

?ydx3、计算I=?xdy, 其中L沿曲线x2+y2=1逆时针方向一周. 22Lx?y解: 化L为: x=cost , y=sint , dx=-sintdt, dy=costdt ; t: 0?2? . I=?0(cos2t +sin2t)dt=?0dt=2? . 解法二: 化I=?xdy-ydx,再用格林公式. D: x2+y2?1.I= ??D(1-(-1))dxdy=2??Ddxdy=2? .

L2?2?1、计算曲线积分I=?L(x-3y+4)dx+(3y+x-5)dy , 其中L为上半圆周 y=

2x?x2从O(0, 0)到A (2, 0)的曲线段.

解: P=x-3y+4 , Q=3y+x-5, Qx=1 , Py =-3, Qx-Py=1+3=4, 补线段AO ,它与L所围区域为D , 则I=(?-?) (x-3y+4)dx+(3y+x-5)dy =-4??Ddxdy-?2 (x+4)dx=-2?+10.

L?AO0AO四、L沿圆周x2+y2=t2逆时针方向一周, 证明I=limt?0(m?b)??dxdyD1t2?(ax+by)dx+(mx+ny)dy=(m-b)?.(a,b,m,n均为常数).

L证: 由格林公式 I=limt?0t2(m?b)?t2=lim=(m-b)?. t?0t2《高等数学

AII》模拟复习题三

一、单项选择题 1、已知幂级数?an(x-1)n在x=5处发散,则下列结论正确的是( A ).

n?0?A、在x=-4处级数发散; B、在x=-3处级数绝对收敛;

C、在x=-4处级数条件收敛;

dydx D、在x=-4处级数绝对收敛.

x2x2解: 收敛中心为1,若在x=5处发散,则级数在(-3, 5)外一定发散,在(-3, 5)内及x=-3处敛散不定. 选A. 2、微分方程

=2y的通解为( C )。 A、y=e2x+C； B、y=Ce

1y； C、y=Ce2x； D、y=e

+C.

解: 化方程为:

dy=2dx, lny=2x+lnC , 通解: y=Ce2x . 选C.

3、微分方程y?+6y?+9y=xe-3x的特解形式为( D ). A、axe-3x； B、(ax+b)e-3x； C、x(ax+b)e-3x； D、x2(ax+b)e-3x

解: 对应齐方程y??+6y?+9y=0的特征方程:r2+6r+9=0,特征根:r=-3.因为?=-3是二重特征根, 所以特解形式y*=x2(ax+b)e-3x, 选D. 4、下列级数绝对收敛的是( B ). A、?(?1)n?1??n?1??n； B、?n?1(?1)nn(n?1)； C、?(?1)ncos； D、?(?1)nn?1n?1??1n??1n.

d2y5、y=c-sinx (其中c是任意常数) 是2=sinx的( B )

dxA、通解; B、是解,但非通解也非特解; 二、填空题

1、设f(x)是周期为2的周期函数，且f(x)=? C、特解; D、不是解.

?x0?x?12?x1?x?2，它的傅立叶级数的和函数为S(x)，则S(8.5)= 0.5 .

解: 因为f(x)以2为周期,且在0.5处连续,所以S(8.5)=S(0.5)=f(0.5)=0.5. 2、设幂级数

22222332nx?x?x???2xn??，其收敛半径2510n?1R=

12. 2n2n?1n2?2n?212n?解: 级数一般项系数an=2, R=lim2=lim=. 22n??n??n?1(n?1)?12(n?1)2n?13、函数y=e

?x9的麦克劳林级数为y= e

?x9=?(?1)nxn9nn!n?0?, 其收敛域为 (-?

??5、若级数?1收敛, 则P应满足P>0. 解:因为1+P>1时P级数收敛,所以 P>0.

1?pn?1n三、计算题 1、求微分方程y'??ycosx?xx满足条件y|x=?=1的特解. (只写出公式给2分)

解: y=e

?xdx1cosx?xdx111dx+c)=(∫cosxdx+c)=(sinx+c).将y|x=?=1代入得c=?,则y=(sinx+?). (??exxxx展成关于(x-2)的幂级数.

1x?21?312、将函数f(x)=解

11?x11f(x)???3?(x?2)3

n?1?x?2nn(x?2)??(?)??(?1)3n?033n?1n?0. (?x?2<1,即-1

33、求幂级数?(x?1)n4nn?1??的收敛域及其和函数.

(x?1)解： 和函数

(x?1)n?4nn?1=

41?(x?1)

4?x?15?x; 收敛域为 x?1<1,即-3

44、求y?-y?=0的积分曲线，使该曲线与直线y=x相切于原点O(0,0). 解：r2-r=0, r=1, r=0,所以y=c1ex+c2, y?=c1ex, 由已知y|x=0=0, y?|x=0=1,有??c1?c2?0?c1?1, 所以c2=-1, 所以y=ex-1.

3nn!5、判别级数?n敛散性.

n?1n?un?13n?1(n?1)!?lim解: limn??un??(n?1)n?1n?3nn!nn

nn?lim(?)n??n?1n2n!-13=3e>1, 所以 ?n发散. n?1n?四、计算题 1、求级数

n?1nx的和函数S(x)及收敛域. ?n!n?1解 : S(x)=(??n?1?x0??xn?1xnn?1n)'=(x?)'=[x(ex-1)]?=(x+1)ex-1, x?(-?,+?). xdx)'=(?n!n?1n!n?1n!xyx2f(x)dx?[f(x)?]dy与路径无关，求f(x). 2、设f(x)可微, f(0)=1,曲线积分I?? 22 L1?x解：由

?p?Q??y?x得微分方程f ?(x)-

x1?x2f(x)=x, 解之得：

1ln(1?x2)2 f(x)=e?1?x2xdx(?xe?1?x2?xdxdx?C)?edx1?x2(?xe1?ln(1?x2)2dx?C)

?1?x2(?x?C)?1?x2(1?x2?C), 由f(0)=1，得C=0，f(x)=1+x2.

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