人大博士统计学试题(02-05)

2005年中国人民大学博士研究生入学考试试题

招生专业：统计学

考试科目：统计学、精算学 考试时间：3月19日上午

一、（20分）简要回答下列问题：

（1） 进行成功概率为p的贝努里试验，问在m次失败之前取得r次成功的概率是多

少？

（2） 设随机变量x的累积分布函数为：

?0,x?0?x?,0?x?1?4??1x?1,1?x?2 F(x)???24??11?12,2?x?3??1,x?3?求p(x=1), p(x=2) ,p(x=3),p(

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二、（20分）考虑下面线性模型

y?X???

其中y为n维向量，?为p维参数向量，X为n*p的非随机解释矩阵；

（1） 请写出通常对于?的假设；

（2） 请写出对参数?的最小二乘估计的表达式； （3） 上面表达式和最大似然估计在什么条件下一样？

（4） 回归中经常会有离群点出现，它们一般定义为用数据拟合该模型时，残差较大的

点。如有很多离群点出现，请举例可能的原因。你会如何处理离群点问题。

（5） 残差小的点是不是对回归结果影响小？举例说明。

（6） 计算机回归输出中有对参数的t检验和对回归的F检验，这些检验需要什么假

设？

三、（15分）若x1,x2,?,xn是来自如下拉普拉斯分布总体的样本：

P(x)?1?x??e,??R,x?R 25

试求?的极大似然估计。

四、（25分）简要回答下列问题：

（1） 什么是显著性检验？显著性检验的基本思想？ （2） 如何选择原假设和备择假设？ （3） 假设检验与区间估计的联系和区别？ （4） 假设检验有什么缺欠？

五、（10分）一项对于某产品的393名消费者的抽样调查结果显示如下： 年龄、观点、性别 Crosstabulation 性别 老年 男 年龄 中年 青少年 总和 老年 女 年龄 中年 青少年 总和 观点 喜欢 11 29 34 74 2 13 43 58 不喜欢 0 31 38 69 6 42 51 99 不表态 1 21 17 39 8 19 27 54 Total 12 81 89 182 16 74 121 211 该产品厂商声称在老年男性中喜欢饮料的至少为98%，但有人对此表示质疑；

（1） 请为质疑者进行假设检验：写出你的零假设和备择假设、检验统计量以及有关公

式（记显著性水平为α，不用计算最后数值结果，但要写出如何判断和得出结论的细节）。

（2） 根据这个数据给出老年男性喜欢该饮料的比例p的95%的置信区间（不用计算最

后数值结果，但要写出如何判断和得出结论的细节）。

六、（10分）某地方政府发行福利彩票，中奖者用摇大转盘的方式确定最后中奖金额。大转

盘均匀分为20份，其中金额为5万、10万、20万、50万、100万分别为8份、5份、4份、2份、1份。假定大转盘是均匀的，则每一份被摇到是等可能的，摇出各个奖的概率如下：

p

5万 0.4

10万 0.25

20万 0.2

50万 0.1

100万 0.05

现有20人参加摇奖，摇得5万、10万、20万、50万、100万得人数分别为8、6、5、1、0，由于没有一个人摇到100万，于是有人怀疑大转盘是不均匀得，试问该怀疑是否成立？（α=0.05）

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