2019年[临门一脚]高考押题金卷（全国卷）数学（理）试卷（含答案）

（Ⅱ）在图2中作DF?DB,交DB于F点。

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20.【解析】(I)证明1:

22OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)2?(OA?OB)2

22OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB

整理得: OA?OB?0?x1?x2?y1?y2?0

设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则MA?MB?0 即(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0 整理得:x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0 故线段AB是圆C的直径

证明3:

2OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)2?(OA?OB)2

222OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB

整理得: OA?OB?0?x1?x2?y1?y2?0……(1) 以线段AB为直径的圆的方程为

(x?x1?x22y?y221)?(y?1)?[(x1?x2)2?(y1?y2)2] 224展开并将(1)代入得:x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0 故线段AB是圆C的直径

x1?x2?x???2(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则?

y?y2?y?1??2y12y22 y?2px1,y2?2px2(p?0)?x1x2?4p2212y12y22又因x1?x2?y1?y2?0?x1?x2??y1?y2??y1?y2? 24px1?x2?0,?y1?y2?0?y1?y2??4p2

x?x1?x2yy111?(y12?y22)?(y12?y22?2y1y2)?12?(y2?2p2) 24p4p4pp所以圆心的轨迹方程为y2?px?2p2 设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则

12(y?2p2)?2y||x?2y||y2?2py?2p2||(y?p)2?p2|pd??? ?555p5p|当y=p时,d有最小值pp25,由题设得?p?2. ?555设直

线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为25,则m??2 5因为x-2y+2=0与y2?px?2p2无公共点,所以当x-2y-2=0与y2?px?2p2仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为25 5?x?2y?2?0(2)将(2)代入(3)得y2?2py?2p2?2p?0 ?22(3)?y?px?2p???4p2?4(2p2?2p)?0 p?0

?p?2.x1?x2?x???2解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则?

?y?y1?y2??2x1?x2?(y1?y2)|2圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则d?

5|y12y22 y?2px1,y2?2px2(p?0)?x1x2?4p2212y12y22又因x1?x2?y1?y2?0?x1?x2??y1?y2??y1?y2? 24p

21.（Ⅰ）当a?1时，f(x)?ln(x?1)?不等式f(x)?2， x?1111ln(x?1)??可化为，所以 x?1x?1ex?1x?1e111111?x?1，即证lnx??x， 要证不等式f(x)?x?1?，即证ln(x?1)?ex?1x?1exe111x?1设h(x)?lnx?，则h?(x)??2?2，

xxxx在(0,1)上，h'（x）＜0，h（x）是减函数；在（1，??)上，h'（x）＞0，h（x）是增函数．

1所以h(x)?h(1)?1，设?(x)?x，则?(x)是减函数，

e11所以?(x)??(0)?1，所以?(x)?h(x)，即lnx??x，

xe11所以当a?1时，不等式f(x)?x?1?成立．

ex?1?1